Комбинации тел

11 заданий

Тела вращения часто вписывают в многогранники и описывают около них: шар в куб, цилиндр в призму, конус в пирамиду. Связь размеров — через радиусы вписанных и описанных окружностей оснований и общую высоту. Отдельный тип задач — переливание жидкости между сосудами разной формы.

Связи. Шар вписан в куб с ребром \(a\): \(R = \dfrac a2\); куб вписан в шар: \(R = \dfrac{a\sqrt3}{2}\). Цилиндр описан около прямой призмы: радиус — радиус окружности, описанной около основания призмы, высоты равны; цилиндр вписан в призму — радиус вписанной окружности. Конус описан около пирамиды: \(R\) — описанная окружность основания, вершины и высоты общие; вписан — вписанная окружность. Шар вписан в цилиндр: \(h = 2R\), \(V_{\text{шара}} = \dfrac23 V_{\text{цил}}\). Жидкость: объём сохраняется, \(\pi R_1^2 h_1 = \pi R_2^2 h_2\); в конусе уровень и радиус поверхности пропорциональны (объём зависит от уровня как \(h^3\)).

Как это работает. Около правильной треугольной призмы со стороной основания 6 и высотой 5 описан цилиндр. Найдём его объём.

Радиус цилиндра — радиус окружности, описанной около правильного треугольника: \(R = \dfrac{a}{\sqrt3} = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3\).
Высота цилиндра равна высоте призмы: 5.
\(V = \pi \cdot 12 \cdot 5 = 60\pi\). Ответ: \(60\pi\).

Ещё пример. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости 12 см. Жидкость перелили в другой цилиндрический сосуд, радиус которого вдвое больше. Каким станет уровень? Воду из конического сосуда, заполненного до половины высоты, долили до верха; во сколько раз увеличился объём воды?
Решение. Объём тот же, площадь основания в 4 раза больше — уровень \(12 : 4 = 3\) см. Конус: объём пропорционален кубу уровня, \(\left(\dfrac{2}{1}\right)^3 = 8\) — объём увеличился в 8 раз. Ответ: 3 см; в 8 раз.

Лайфхак. В комбинациях «многогранник — тело вращения» всё решает основание: нарисуйте его отдельно и найдите радиус вписанной или описанной окружности по формулам правильных многоугольников. Высоты у вписанных и описанных тел совпадают.

Типичная ошибка. Для шара, вписанного в куб, берут радиус \(\dfrac{a\sqrt3}{2}\) — это описанный шар. Вписанный шар касается граней: \(R = \dfrac a2\).

На ЕГЭ. Задание 3: «Цилиндр описан около шара; объём цилиндра 6, найдите объём шара» (4), «в куб с ребром 6 вписан шар; найдите его объём, делённый на \(\pi\)» (36), «вода в цилиндрическом сосуде на уровне 80 см; перелили в сосуд с радиусом в 4 раза больше; найдите уровень» (5).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward