Шар и сфера
Сфера — множество точек, удалённых от центра на расстояние \(R\); шар — всё, что внутри сферы. Любое сечение шара плоскостью — круг, и его радиус связан с радиусом шара и расстоянием от центра до плоскости теоремой Пифагора.
Формулы. \[V = \dfrac43\pi R^3, \qquad S = 4\pi R^2.\] Сечение плоскостью на расстоянии \(d\) от центра — круг радиуса \(r = \sqrt{R^2 - d^2}\); при \(d = 0\) — большой круг радиуса \(R\). Площадь поверхности шара равна четырём площадям его большого круга и равна боковой поверхности описанного цилиндра (\(2\pi R \cdot 2R\)). Объём шара — \(\dfrac23\) объёма описанного цилиндра.
Как это работает. Плоскость, проходящая на расстоянии 3 от центра шара, пересекает его по кругу площади \(16\pi\). Найдём радиус шара, его объём и площадь поверхности.
- Радиус сечения: \(\pi r^2 = 16\pi\), \(r = 4\). \(R = \sqrt{r^2 + d^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\).
- \(V = \dfrac43\pi \cdot 125 = \dfrac{500\pi}{3}\).
- \(S = 4\pi \cdot 25 = 100\pi\). Ответ: 5; \(\dfrac{500\pi}{3}\); \(100\pi\).
Ещё пример. Во сколько раз объём шара радиуса 6 больше объёма шара радиуса 2? Во сколько раз больше площадь поверхности?
Решение. Радиусы относятся как 3 : 1; объёмы — как \(3^3 = 27\), площади — как \(3^2 = 9\). Ответ: в 27 раз; в 9 раз.
Лайфхак. Для сечения шара рисуйте прямоугольный треугольник «\(R\) — \(d\) — \(r\)»: гипотенуза — радиус шара. Площадь поверхности и объём при изменении радиуса масштабируются как \(k^2\) и \(k^3\) — считать заново не нужно.
Типичная ошибка. Путают формулы: \(4\pi R^2\) — площадь сферы, \(\dfrac43\pi R^3\) — объём шара. Подсказка: площадь — квадрат радиуса, объём — куб.
На ЕГЭ. Задание 3: «Площадь большого круга шара равна 3; найдите площадь поверхности шара» (12), «объём шара 288\(\pi\); найдите радиус» (6), «радиус шара увеличили в 3 раза; во сколько раз увеличился объём» (27).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward