Конус

11 заданий

Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета: катеты становятся высотой и радиусом, гипотенуза — образующей. Объём конуса втрое меньше объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.

Формулы (радиус \(R\), высота \(h\), образующая \(l\)): \[l^2 = R^2 + h^2, \qquad V = \dfrac13\pi R^2 h, \qquad S_{\text{бок}} = \pi R l, \qquad S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2.\] Осевое сечение — равнобедренный треугольник с боковой стороной \(l\) и основанием \(2R\). Развёртка боковой поверхности — круговой сектор радиуса \(l\) с углом \(\dfrac{R}{l} \cdot 360^\circ\). Усечённый конус: \(V = \dfrac13\pi h(R^2 + Rr + r^2)\), \(S_{\text{бок}} = \pi(R + r)l\).

Как это работает. Радиус основания конуса 6, образующая 10. Найдём высоту, объём и площадь боковой поверхности.

\(h = \sqrt{100 - 36} = 8\) (тройка \(6, 8, 10\)).
\(V = \dfrac13\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi\).
\(S_{\text{бок}} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\). Ответ: 8; \(96\pi\); \(60\pi\).

Ещё пример. Объём конуса равен \(48\pi\). Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём отсечённого малого конуса. Какой угол имеет развёртка боковой поверхности конуса с \(R = 3\), \(l = 9\)?
Решение. Малый конус подобен с \(k = \dfrac12\): \(V = \dfrac{48\pi}{8} = 6\pi\). Угол развёртки: \(\dfrac{3}{9} \cdot 360^\circ = 120^\circ\). Ответ: \(6\pi\); \(120^\circ\).

Лайфхак. Треугольник «радиус — высота — образующая» прямоугольный: всегда начинайте с него. Формула площади боковой поверхности \(\pi R l\) — «половина длины окружности на образующую», как площадь треугольника.

Типичная ошибка. В формуле боковой поверхности используют высоту вместо образующей: \(\pi R h\) неверно. Боковая поверхность — через образующую \(l\).

На ЕГЭ. Задание 3: «Высота конуса 8, образующая 10; найдите площадь боковой поверхности, делённую на \(\pi\)» (60), «объём конуса 12; найдите объём конуса с вдвое большим радиусом и той же высотой» (48). Задание 15: конус, вписанный в пирамиду.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward