Цилиндр
Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг стороны: два равных круга-основания и боковая поверхность, которая разворачивается в прямоугольник. Все формулы цилиндра — это формулы круга и прямоугольника.
Формулы (радиус \(R\), высота \(h\)): \[V = \pi R^2 h, \qquad S_{\text{бок}} = 2\pi R h, \qquad S_{\text{полн}} = 2\pi R h + 2\pi R^2.\] Осевое сечение — прямоугольник \(2R \times h\). Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами \(2\pi R\) и \(h\). Если радиус увеличить в \(k\) раз при той же высоте, объём вырастет в \(k^2\) раз; если высоту — в \(k\) раз.
Как это работает. Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной 6. Найдём объём и площадь полной поверхности.
- Сторона квадрата — высота: \(h = 6\); другая сторона — диаметр: \(2R = 6\), \(R = 3\).
- \(V = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi\).
- \(S_{\text{полн}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 6 + 2\pi \cdot 9 = 36\pi + 18\pi = 54\pi\). Ответ: \(54\pi\); \(54\pi\).
Ещё пример. В цилиндрический сосуд налили воду до уровня 20 см. В воду опустили деталь, и уровень поднялся до 25 см. Найдите объём детали, если радиус сосуда 4 см (ответ в \(\text{см}^3\), с множителем \(\pi\)).
Решение. Объём детали равен объёму вытесненной воды — цилиндра высотой 5 см: \(\pi \cdot 16 \cdot 5 = 80\pi\). Ответ: \(80\pi\).
Лайфхак. В задачах про уровень жидкости объём тела равен \(\pi R^2 \cdot \Delta h\): считать весь объём воды не нужно, только слой подъёма. Если ответ просят записать «делённым на \(\pi\)», просто не умножайте на \(\pi\).
Типичная ошибка. В площадь полной поверхности включают одно основание. У цилиндра два круга: \(+2\pi R^2\), а не \(+\pi R^2\).
На ЕГЭ. Задание 3: «Найдите объём цилиндра, если площадь осевого сечения 24, а радиус 2» — \(h = 6\), \(V = 24\pi\); «в сосуд в форме цилиндра налита вода до уровня 16 см; во сколько раз изменится уровень, если перелить в сосуд вдвое большего радиуса» — в 4 раза ниже.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward