Комплексная плоскость, модуль и аргумент
Комплексное число \(a + bi\) изображают точкой \((a; b)\) или вектором из начала координат. Тогда сложение чисел — сложение векторов, модуль — длина вектора, а сопряжённое число — отражение относительно горизонтальной оси. Так алгебра комплексных чисел становится геометрией.
Определения. На комплексной плоскости горизонтальная ось — действительная, вертикальная — мнимая. \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) — расстояние от точки до начала координат, \(|z_1 - z_2|\) — расстояние между точками. Аргумент \(\varphi = \arg z\) — угол между положительным направлением действительной оси и вектором \(z\). Тригонометрическая форма: \[z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi), \qquad \cos\varphi = \dfrac{a}{|z|}, \quad \sin\varphi = \dfrac{b}{|z|}.\] При умножении модули перемножаются, аргументы складываются; \(z^n = |z|^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)\) (формула Муавра).
Как это работает. Запишем число \(z = -1 + i\sqrt3\) в тригонометрической форме и найдём \(z^3\).
- Модуль: \(|z| = \sqrt{1 + 3} = 2\).
- Аргумент: \(\cos\varphi = -\dfrac12\), \(\sin\varphi = \dfrac{\sqrt3}{2}\) — вторая четверть, \(\varphi = \dfrac{2\pi}{3}\). Значит, \(z = 2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\).
- По формуле Муавра \(z^3 = 8(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 8\). Ответ: \(z^3 = 8\).
Ещё пример. Какое множество точек задаёт условие \(|z - 2i| = 3\)?
Решение. \(|z - 2i|\) — расстояние от точки \(z\) до точки \(2i\), то есть до \((0; 2)\). Условие означает, что это расстояние равно 3: окружность с центром \((0; 2)\) радиуса 3. Ответ: окружность.
Лайфхак. Умножение на \(i\) — поворот вектора на \(90^\circ\) против часовой стрелки: \(i \cdot (1 + 2i) = -2 + i\), точка \((1; 2)\) перешла в \((-2; 1)\). Поэтому \(i^4 = 1\): четыре поворота на прямой угол возвращают на место.
Типичная ошибка. Аргумент определяют только по \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{b}{a}\), забывая о четверти: у чисел \(1 + i\) и \(-1 - i\) тангенс одинаков, а аргументы \(\dfrac{\pi}{4}\) и \(\dfrac{5\pi}{4}\) разные.
На ЕГЭ. Геометрический смысл модуля \(|z - z_0|\) как расстояния — тот же приём, что и в задаче 19 с параметром, где \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) задаёт окружность. Тригонометрическая форма в части 1 профиля не проверяется, но объясняет, почему \(i^n\) повторяется с периодом 4.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward