Квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом
В комплексных числах любое квадратное уравнение имеет два корня (возможно, совпадающих). Если дискриминант отрицателен, корни комплексно сопряжённые: \(a + bi\) и \(a - bi\). Формула корней остаётся прежней, меняется только извлечение корня из отрицательного числа.
Формула. Для \(ax^2 + bx + c = 0\) с \(D = b^2 - 4ac \lt 0\): \[\sqrt{D} = i\sqrt{|D|}, \qquad x_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}.\] Теорема Виета сохраняется: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Для приведённого уравнения с корнями \(p \pm qi\): \(x^2 - 2px + (p^2 + q^2) = 0\).
Как это работает. Решим уравнение \(x^2 - 6x + 13 = 0\).
- Дискриминант: \(D = 36 - 52 = -16\). Корни комплексные.
- \(\sqrt{D} = \sqrt{-16} = 4i\).
- \(x_{1,2} = \dfrac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i\). Проверка по Виету: сумма \(6\), произведение \((3 + 2i)(3 - 2i) = 9 + 4 = 13\). Ответ: \(3 + 2i\), \(3 - 2i\).
Ещё пример. Составьте приведённое квадратное уравнение с действительными коэффициентами, один из корней которого равен \(1 - 3i\).
Решение. Второй корень — сопряжённый, \(1 + 3i\). Сумма корней \(2\), произведение \(1 + 9 = 10\). Уравнение \(x^2 - 2x + 10 = 0\). Ответ: \(x^2 - 2x + 10 = 0\).
Лайфхак. Для уравнения \(x^2 + px + q = 0\) с \(D \lt 0\) корни — \(-\dfrac{p}{2} \pm i\sqrt{q - \dfrac{p^2}{4}}\): действительная часть — половина коэффициента с обратным знаком, мнимая — корень из «недостачи» до \(q\). Для \(x^2 - 6x + 13\): \(3 \pm i\sqrt{13 - 9} = 3 \pm 2i\).
Типичная ошибка. Пишут \(\sqrt{-16} = -4\). Корень из отрицательного числа в комплексных числах — мнимое число \(4i\), а не отрицательное действительное.
На ЕГЭ. Возможные формулировки: «Найдите сумму квадратов модулей корней уравнения \(x^2 + 2x + 5 = 0\)» — корни \(-1 \pm 2i\), модуль каждого \(\sqrt5\), ответ 10; «Найдите произведение корней» — по Виету, 5.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward