Сопряжённое число, модуль и деление
Чтобы разделить на комплексное число, знаменатель делают действительным — умножают дробь на число, сопряжённое знаменателю. Произведение числа на сопряжённое — всегда неотрицательное действительное число, квадрат модуля.
Определения. Сопряжённое к \(z = a + bi\) число \(\bar z = a - bi\). Модуль \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). \[z \cdot \bar z = a^2 + b^2 = |z|^2, \qquad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \bar z_2}{z_2 \bar z_2} = \dfrac{z_1 \bar z_2}{|z_2|^2}.\] Свойства модуля: \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\), \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}\), \(|\bar z| = |z|\).
Как это работает. Вычислим \(\dfrac{5 + 5i}{1 - 2i}\).
- Сопряжённое к знаменателю: \(1 + 2i\). Умножаем числитель и знаменатель на него.
- Знаменатель: \((1 - 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5\).
- Числитель: \((5 + 5i)(1 + 2i) = 5 + 10i + 5i + 10i^2 = -5 + 15i\). Дробь: \(\dfrac{-5 + 15i}{5} = -1 + 3i\). Проверка: \((-1 + 3i)(1 - 2i) = -1 + 2i + 3i - 6i^2 = 5 + 5i\). Ответ: \(-1 + 3i\).
Ещё пример. Найдите модуль числа \(z = (3 - 4i)(1 + i)\).
Решение. Модуль произведения равен произведению модулей: \(|3 - 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5\), \(|1 + i| = \sqrt2\). Итого \(5\sqrt2\). Ответ: \(5\sqrt2\).
Лайфхак. \(\dfrac{1}{i} = -i\), потому что \(i \cdot (-i) = -i^2 = 1\). Деление на чисто мнимое число \(bi\) — это умножение на \(-\dfrac{i}{b}\): \(\dfrac{6}{2i} = 6 \cdot \left(-\dfrac{i}{2}\right) = -3i\).
Типичная ошибка. Модуль \(|a + bi|\) — не \(|a| + |b|\) и не \(\sqrt{a^2 - b^2}\). Это длина вектора \((a; b)\): \(\sqrt{a^2 + b^2}\), всегда с плюсом под корнем.
На ЕГЭ. Комплексные числа входят в кодификатор 2027 года (КЭС 1.9). Проверяются базовые умения: действия в алгебраической форме, модуль, сопряжённое, решение квадратных уравнений — без тригонометрической формы в заданиях части 1.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward