Мнимая единица. Сложение и умножение комплексных чисел
Уравнение \(x^2 = -1\) не имеет действительных корней. Чтобы оно стало разрешимым, вводят новое число \(i\) — мнимую единицу — с единственным свойством \(i^2 = -1\). Числа вида \(a + bi\) называют комплексными; с ними работают как с двучленами, заменяя \(i^2\) на \(-1\).
Определения. Комплексное число \(z = a + bi\), где \(a = \operatorname{Re} z\) — действительная часть, \(b = \operatorname{Im} z\) — мнимая часть, \(i^2 = -1\). Два числа равны, если равны их действительные и мнимые части. \[(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i, \qquad (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.\] Степени \(i\) повторяются с периодом 4: \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), \(i^4 = 1\).
Как это работает. Вычислим \((3 + 2i)(1 - 4i)\).
- Раскрываем скобки как для двучленов: \(3 \cdot 1 + 3 \cdot (-4i) + 2i \cdot 1 + 2i \cdot (-4i) = 3 - 12i + 2i - 8i^2\).
- Заменяем \(i^2 = -1\): \(-8i^2 = 8\).
- Собираем части: \((3 + 8) + (-12 + 2)i = 11 - 10i\). Ответ: \(11 - 10i\).
Ещё пример. Найдите \(i^{2027}\).
Решение. Делим показатель на 4 с остатком: \(2027 = 4 \cdot 506 + 3\), поэтому \(i^{2027} = \left(i^4\right)^{506} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i\). Ответ: \(-i\).
Лайфхак. Чтобы найти \(i^n\), достаточно остатка от деления \(n\) на 4: остаток 0 даёт 1, остаток 1 — \(i\), остаток 2 — \(-1\), остаток 3 — \(-i\). Квадрат комплексного числа считайте по формуле квадрата суммы: \((a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi\).
Типичная ошибка. \(\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} \ne \sqrt{36} = 6\). Правило «корень произведения равен произведению корней» для отрицательных чисел не действует: \(2i \cdot 3i = 6i^2 = -6\).
Из истории. Мнимые числа появились в XVI веке у Кардано и Бомбелли при решении кубических уравнений: промежуточные корни из отрицательных чисел сокращались, и получался верный действительный ответ. Обозначение \(i\) ввёл Эйлер в 1777 году.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward