Комплексные числа: определение и действия

Комплексные числа расширяют действительные: вводится число \(i\), для которого \(i^2 = -1\). Каждое комплексное число записывается в алгебраической форме \(z = a + bi\), где \(a = \operatorname{Re} z\) — действительная часть, \(b = \operatorname{Im} z\) — мнимая. Два комплексных числа равны, когда равны их действительные и мнимые части.

Складывают, вычитают и умножают как многочлены, заменяя \(i^2\) на \(-1\): \((2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 5 + i\). Степени \(i\) повторяются с периодом 4: \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), \(i^4 = 1\), поэтому \(i^{2027} = i^{4 \cdot 506 + 3} = -i\).

Сопряжённое число \(\bar z = a - bi\); \(z \bar z = a^2 + b^2\) — действительное число. Делят, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю.

Пример. Найдите \(\dfrac{5 + 5i}{1 + 2i}\).
Решение. \(\dfrac{(5 + 5i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \dfrac{5 - 10i + 5i - 10i^2}{1 + 4} = \dfrac{15 - 5i}{5} = 3 - i\).

Пример. Найдите действительные \(x\) и \(y\), если \((x + 2y) + (x - y)i = 4 + i\).
Решение. \(x + 2y = 4\), \(x - y = 1\), откуда \(y = 1\), \(x = 2\).