Модуль, комплексная плоскость и квадратные уравнения

Комплексное число \(z = a + bi\) изображают точкой \((a; b)\) координатной плоскости: ось абсцисс — действительная, ось ординат — мнимая. Модуль \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) — расстояние от точки до начала координат, и \(z\bar z = |z|^2\). Сопряжённое число — отражение точки относительно действительной оси.

Пример. Найдите модуль числа \(z = 3 - 4i\) и число \(\dfrac{1}{z}\).
Решение. \(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\); \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{\bar z}{|z|^2} = \dfrac{3 + 4i}{25} = 0{,}12 + 0{,}16i\).

Квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом на множестве комплексных чисел имеет два сопряжённых корня: \(x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a}\).

Пример. Решите уравнение \(x^2 + 4x + 13 = 0\).
Решение. \(D = 16 - 52 = -36\), \(\sqrt{-D} = 6\), \(x = \dfrac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i\). Проверка по теореме Виета: сумма корней \(-4\), произведение \((-2)^2 + 3^2 = 13\).

Пример. Найдите все \(z\), для которых \(|z - 1| = |z + 1|\).
Решение. Точка \(z\) равноудалена от точек \(1\) и \(-1\) — это мнимая ось: \(z = bi\), \(b\) — любое действительное число.