Координаты на плоскости: расстояние, середина, вектор
Координаты превращают геометрию в арифметику: точка — пара чисел, отрезок — разность координат. Три формулы этого урока — расстояние, середина и координаты вектора — применяются во всех задачах метода координат.
Формулы для точек \(A(x_1; y_1)\), \(B(x_2; y_2)\): \[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, \qquad M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right), \qquad \vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1).\] Длина вектора \(|\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\). Вектор — направленный отрезок: равные векторы имеют равные координаты, где бы ни лежали. Точка делит отрезок в отношении \(m : n\): \(x = \dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n}\).
Как это работает. Даны точки \(A(-2; 1)\) и \(B(4; 9)\). Найдём длину \(AB\), координаты середины и координаты вектора \(\vec{AB}\).
- \(AB = \sqrt{(4 + 2)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\).
- Середина \(M\left(\dfrac{-2 + 4}{2}; \dfrac{1 + 9}{2}\right) = (1; 5)\).
- \(\vec{AB} = (4 - (-2); 9 - 1) = (6; 8)\), \(|\vec{AB}| = 10\). Ответ: 10; \((1; 5)\); \((6; 8)\).
Ещё пример. Точка \(M(3; -1)\) — середина отрезка \(AB\), \(A(1; 4)\). Найдите координаты \(B\).
Решение. \(\dfrac{1 + x_B}{2} = 3\), \(x_B = 5\); \(\dfrac{4 + y_B}{2} = -1\), \(y_B = -6\). Ответ: \(B(5; -6)\).
Лайфхак. Координаты вектора — «конец минус начало». Длина вектора и расстояние между точками — одна и та же формула. Для середины «сложить и разделить пополам» — проще некуда, а чтобы найти конец по середине, удваивайте координаты середины и вычитайте начало.
Типичная ошибка. Вычитают координаты в разном порядке: \(x_2 - x_1\) и \(y_1 - y_2\). Для длины это не важно (квадраты), для вектора — важно: знак координаты показывает направление.
На ЕГЭ. Задание 2 (векторы, базовый уровень): «На координатной плоскости изображены векторы \(\vec a\) и \(\vec b\); найдите длину вектора \(\vec a - \vec b\)», «найдите координаты вектора по двум точкам». Числа — узлы клетчатой сетки.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward