Действия с векторами

11 заданий

Векторы складывают по правилу треугольника (конец первого — начало второго) или параллелограмма, вычитают как сложение с противоположным, умножают на число, растягивая. В координатах все действия — покоординатные.

Правила. \[\vec a + \vec b = (a_x + b_x; a_y + b_y), \qquad \vec a - \vec b = (a_x - b_x; a_y - b_y), \qquad k\vec a = (ka_x; ka_y).\] Правило треугольника: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\); правило параллелограмма: \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\); разность: \(\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}\). Векторы коллинеарны (параллельны), если \(\vec b = k\vec a\), то есть координаты пропорциональны: \(\dfrac{b_x}{a_x} = \dfrac{b_y}{a_y}\). Сумма векторов по замкнутому контуру равна нулевому вектору.

Как это работает. Даны \(\vec a = (3; -2)\) и \(\vec b = (-1; 4)\). Найдём \(2\vec a - \vec b\) и его длину; проверим, коллинеарны ли \(\vec a\) и \(\vec c = (-6; 4)\).

\(2\vec a = (6; -4)\); \(2\vec a - \vec b = (6 + 1; -4 - 4) = (7; -8)\).
Длина: \(\sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}\).
\(\vec c = (-6; 4) = -2 \cdot (3; -2) = -2\vec a\): коллинеарны, противоположно направлены. Ответ: \((7; -8)\); \(\sqrt{113}\); да.

Ещё пример. В параллелограмме \(ABCD\) точка \(O\) — пересечение диагоналей. Выразите \(\vec{AO}\) через \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\).
Решение. \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\); диагонали делятся пополам: \(\vec{AO} = \dfrac12\vec{AC} = \dfrac12\vec{AB} + \dfrac12\vec{AD}\). Ответ: \(\dfrac12(\vec{AB} + \vec{AD})\).

Лайфхак. Чтобы выразить вектор через два данных, пройдите по рисунку «из начала в конец» по сторонам фигуры: \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\), а \(\vec{BC} = \vec{AD}\) в параллелограмме. Буквы должны «стыковаться»: конец одного вектора — начало следующего.

Типичная ошибка. Для разности \(\vec{AB} - \vec{AC}\) пишут \(\vec{BC}\). Разность векторов с общим началом направлена от конца вычитаемого к концу уменьшаемого: \(\vec{CB}\).

На ЕГЭ. Задание 2: «\(\vec a = (2; 5)\), \(\vec b = (-3; 1)\); найдите координаты вектора \(\vec a + 2\vec b\)», «найдите длину вектора \(\vec a - \vec b\)». В 2027 году это самостоятельное задание базового уровня.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward