Скалярное произведение и угол между векторами

11 заданий

Скалярное произведение двух векторов — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. В координатах оно считается без углов — как сумма произведений координат. Отсюда получают угол между векторами и условие перпендикулярности.

Формулы. \[\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\varphi = a_x b_x + a_y b_y, \qquad \cos\varphi = \dfrac{a_x b_x + a_y b_y}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2}\sqrt{b_x^2 + b_y^2}}.\] \(\vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0\). \(\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2\). Знак произведения: положительно при остром угле, отрицательно при тупом. Свойства: коммутативность, \((k\vec a) \cdot \vec b = k(\vec a \cdot \vec b)\), распределительный закон: \((\vec a + \vec b)^2 = |\vec a|^2 + 2\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2\).

Как это работает. Найдём скалярное произведение и угол между векторами \(\vec a = (4; 3)\) и \(\vec b = (1; 7)\).

\(\vec a \cdot \vec b = 4 \cdot 1 + 3 \cdot 7 = 25\).
\(|\vec a| = 5\), \(|\vec b| = \sqrt{50} = 5\sqrt2\).
\(\cos\varphi = \dfrac{25}{5 \cdot 5\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}\), \(\varphi = 45^\circ\). Ответ: 25; \(45^\circ\).

Ещё пример. При каком \(k\) векторы \(\vec a = (k; 6)\) и \(\vec b = (3; -2)\) перпендикулярны? Найдите \(|\vec a + \vec b|\), если \(|\vec a| = 3\), \(|\vec b| = 4\), угол между ними \(60^\circ\).
Решение. \(3k - 12 = 0\), \(k = 4\). \(|\vec a + \vec b|^2 = 9 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dfrac12 + 16 = 37\), длина \(\sqrt{37}\). Ответ: 4; \(\sqrt{37}\).

Типичная ошибка. Берут угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CA}\) равным углу треугольника \(A\). Векторы должны выходить из одной точки: угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) — угол \(A\), а с \(\vec{CA}\) — смежный с ним.

На ЕГЭ. Задание 2: «\(\vec a = (3; 4)\), \(\vec b = (-8; 6)\); найдите скалярное произведение» (0 — перпендикулярны), «найдите косинус угла между векторами», «при каком \(x\) векторы перпендикулярны». Задание 15: угол между прямыми через векторы.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward