Векторы в квадрате, правильном треугольнике и шестиугольнике

11 заданий

В задании 2 векторы часто заданы не координатами, а сторонами и диагоналями фигуры: квадрата, правильного треугольника, шестиугольника, параллелограмма. Тогда скалярные произведения считают через длины и углы фигуры или вводят удобные координаты.

Приёмы. 1) Угол между сторонами: \(\vec{AB} \cdot \vec{AD}\) в квадрате равно 0; в правильном треугольнике \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = a^2\cos 60^\circ = \dfrac{a^2}{2}\); \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = a^2\cos 120^\circ = -\dfrac{a^2}{2}\) (векторы приводят к общему началу). 2) Разложение по сторонам: диагональ квадрата \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\), \(|\vec{AC}| = a\sqrt2\). 3) Координаты: квадрат \(A(0; 0)\), \(B(a; 0)\), \(C(a; a)\), \(D(0; a)\); правильный шестиугольник с центром в начале и \(R = a\): вершины \((a; 0)\), \(\left(\dfrac a2; \dfrac{a\sqrt3}{2}\right)\) и т. д. В правильном шестиугольнике \(ABCDEF\): \(\vec{AB} + \vec{BC} + \dots + \vec{FA} = \vec 0\), \(\vec{AD} = 2\vec{BC}\), большая диагональ \(2a\), меньшая \(a\sqrt3\).

Как это работает. Сторона квадрата \(ABCD\) равна 4. Найдём \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\), \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\) и \(|\vec{AB} + \vec{AD}|\).

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}|\cos 45^\circ = 4 \cdot 4\sqrt2 \cdot \dfrac{\sqrt2}{2} = 16\). Проверка координатами: \((4; 0) \cdot (4; 4) = 16\).
\(\vec{CD} = -\vec{AB}\): \(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -16\).
\(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\), длина \(4\sqrt2\). Ответ: 16; \(-16\); \(4\sqrt2\).

Ещё пример. Сторона правильного треугольника \(ABC\) равна 6. Найдите \(\vec{AB} \cdot \vec{BC}\) и \(|\vec{AB} + \vec{AC}|\).
Решение. Приводим к общему началу: угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) равен \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\): произведение \(36 \cdot \left(-\dfrac12\right) = -18\). \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}\), где \(M\) — середина \(BC\); \(|AM| = 3\sqrt3\), длина суммы \(6\sqrt3\). Ответ: \(-18\); \(6\sqrt3\).

Лайфхак. Если сомневаетесь в угле между векторами на сторонах фигуры, введите координаты: одна вершина в начале, одна сторона по оси. Квадрат и правильный шестиугольник имеют «красивые» координаты, и скалярное произведение считается без тригонометрии.

Типичная ошибка. Угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) считают равным углу \(B\) треугольника. Эти векторы идут «цепочкой», и угол между ними — внешний угол, смежный с \(B\).

На ЕГЭ. Задание 2: «Сторона правильного треугольника равна 4; найдите скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\)» (8), «в правильном шестиугольнике со стороной 2 найдите длину вектора \(\vec{AB} + \vec{AC}\)», «в квадрате найдите \(\vec{AC} \cdot \vec{BD}\)» (0).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward