Координаты и векторы в пространстве

11 заданий

В пространстве к двум координатам добавляется третья — все формулы остаются теми же, только с тремя слагаемыми. Вершины куба, прямоугольного параллелепипеда и правильных призм получают координаты из размеров тела, и углы между прямыми считаются через векторы.

Формулы. \[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}, \qquad \vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z, \qquad \cos\varphi = \dfrac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a||\vec b|}\] (модуль в числителе — для угла между прямыми, который не превосходит \(90^\circ\)). Середина отрезка — полусуммы трёх координат. Куб с ребром \(a\): \(A(0; 0; 0)\), \(B(a; 0; 0)\), \(D(0; a; 0)\), \(A_1(0; 0; a)\), \(C_1(a; a; a)\). Правильная треугольная призма со стороной \(a\): \(A(0; 0; 0)\), \(B(a; 0; 0)\), \(C\left(\dfrac a2; \dfrac{a\sqrt3}{2}; 0\right)\).

Как это работает. В кубе с ребром 2 найдём угол между прямыми \(A_1C\) (диагональ куба) и \(BD\) (диагональ основания).

Координаты: \(A_1(0; 0; 2)\), \(C(2; 2; 0)\), \(B(2; 0; 0)\), \(D(0; 2; 0)\). \(\vec{A_1C} = (2; 2; -2)\), \(\vec{BD} = (-2; 2; 0)\).
Скалярное произведение: \(-4 + 4 + 0 = 0\).
Векторы перпендикулярны: угол \(90^\circ\). Диагональ куба перпендикулярна диагонали основания, которую не пересекает. Ответ: \(90^\circ\).

Ещё пример. Найдите расстояние между серединами рёбер \(AB\) и \(C_1D_1\) куба с ребром 2.
Решение. Середина \(AB\): \((1; 0; 0)\); середина \(C_1D_1\): \((1; 2; 2)\). Расстояние \(\sqrt{0 + 4 + 4} = 2\sqrt2\). Ответ: \(2\sqrt2\).

Лайфхак. Выбирайте начало координат в вершине тела, оси — вдоль рёбер. Для правильной призмы и пирамиды одну вершину основания ставьте в начало, сторону — по оси \(x\); вершина пирамиды — над центром основания на высоте \(h\).

Типичная ошибка. Для угла между прямыми получают отрицательный косинус и пишут тупой угол. Угол между прямыми — от 0 до \(90^\circ\): берут модуль скалярного произведения.

На ЕГЭ. Задание 15, пункт б): угол между скрещивающимися прямыми, расстояние между точками тела — через координаты. Запись координат всех вершин — обязательная часть решения.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward