Уравнение плоскости. Расстояния и углы через нормаль

11 заданий

Плоскость в пространстве задаётся линейным уравнением; коэффициенты при переменных образуют вектор нормали — перпендикуляр к плоскости. Через нормаль считают угол между плоскостями, угол прямой с плоскостью и расстояние от точки до плоскости.

Формулы. Плоскость \(Ax + By + Cz + D = 0\), нормаль \(\vec n = (A; B; C)\). Через три точки: подставить координаты в уравнение и решить систему (одну из неизвестных положить равной 1). Расстояние от \(M_0(x_0; y_0; z_0)\): \[d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.\] Угол между плоскостями: \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}\). Угол между прямой (направляющий вектор \(\vec a\)) и плоскостью: \(\sin\varphi = \dfrac{|\vec a \cdot \vec n|}{|\vec a||\vec n|}\). Плоскости перпендикулярны, если \(\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 0\); параллельны, если нормали коллинеарны.

Как это работает. В кубе с ребром 1 составим уравнение плоскости \(A_1BD\) и найдём расстояние от вершины \(C_1\) до неё.

Координаты: \(A_1(0; 0; 1)\), \(B(1; 0; 0)\), \(D(0; 1; 0)\). Плоскость, отсекающая на осях единичные отрезки: \(x + y + z = 1\) (проверка: все три точки подходят). Нормаль \((1; 1; 1)\).
\(C_1(1; 1; 1)\): \(d = \dfrac{|1 + 1 + 1 - 1|}{\sqrt3} = \dfrac{2}{\sqrt3}\).
\(d = \dfrac{2\sqrt3}{3}\). Ответ: \(x + y + z - 1 = 0\); \(\dfrac{2\sqrt3}{3}\).

Ещё пример. Найдите угол между плоскостью \(A_1BD\) и плоскостью основания куба; синус угла между диагональю \(AC_1\) и плоскостью \(A_1BD\).
Решение. Нормали \((1; 1; 1)\) и \((0; 0; 1)\): \(\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt3}\), \(\varphi = \arccos\dfrac{\sqrt3}{3}\). Диагональ \(\vec{AC_1} = (1; 1; 1)\) коллинеарна нормали: \(\sin\varphi = 1\), диагональ перпендикулярна плоскости \(A_1BD\). Ответ: \(\arccos\dfrac{\sqrt3}{3}\); 1.

Лайфхак. Плоскость, отсекающая на осях отрезки \(p\), \(q\), \(r\), имеет уравнение \(\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} + \dfrac{z}{r} = 1\) — для сечений куба через вершины это экономит систему уравнений. Проверяйте уравнение подстановкой всех трёх точек.

Типичная ошибка. В формуле расстояния забывают \(D\) или не берут модуль. Подставлять нужно все четыре коэффициента; расстояние неотрицательно.

На ЕГЭ. Задание 15, пункт б): «найдите расстояние от точки до плоскости сечения», «угол между плоскостями». Координатное решение с явно выписанным уравнением плоскости и формулой оценивается полным баллом.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward