Корень n-й степени и его свойства
Арифметический корень \(\sqrt[n]{a}\) (\(a \ge 0\)) — неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Корень нечётной степени определён и для отрицательных чисел: \(\sqrt[3]{-8} = -2\). Для чётной степени \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\), для нечётной \(\sqrt[n]{a^n} = a\).
| Свойство (\(a, b \ge 0\)) | Пример |
|---|---|
| \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) | \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6\) |
| \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\), \(b \gt 0\) | \(\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{49} = 7\) |
| \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}\) | \(\left(\sqrt[3]{5}\right)^6 = 25\) |
| \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}\) | \(\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2\) |
| \(\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}\) | \(\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt{3}\) |
Пример. Найдите значение выражения \((\sqrt{13} - \sqrt{7})(\sqrt{13} + \sqrt{7})\).
Решение. По формуле разности квадратов: \(13 - 7 = 6\).
Пример. Вычислите \(\sqrt[3]{-27} + \sqrt{(-5)^2}\).
Решение. \(\sqrt[3]{-27} = -3\), \(\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5\). Ответ: 2.
Ловушка ЕГЭ. \(\sqrt{a^2} = |a|\), а не \(a\). Например, \(\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = \sqrt{5} - 2\), потому что \(2 - \sqrt{5} \lt 0\). Корень чётной степени из отрицательного числа не существует.
Из истории. Знак корня \(\sqrt{\phantom{x}}\) ввёл немецкий математик Кристоф Рудольф в 1525 году — считается, что это стилизованная буква r от латинского radix, «корень». Черту над подкоренным выражением добавил Декарт в 1637 году.
Закрепите теорию: 13 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward