Преобразования выражений с корнями

Вынесение множителя: выделяют под корнем точный квадрат: \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\). Внесение: \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\); так удобно сравнивать: \(5\sqrt{2} = \sqrt{50} \gt \sqrt{49} = 7\).

Избавление от иррациональности в знаменателе: умножают числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: \(\dfrac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \dfrac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \sqrt{7} + \sqrt{3}\).

Корень из выражения с корнем ищут как квадрат суммы или разности: \(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = \sqrt{5} - 2\), так как \((\sqrt{5} - 2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4\).

Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{\sqrt{2{,}7} \cdot \sqrt{4{,}8}}{\sqrt{0{,}04}}\).
Решение. Соберём всё под одним корнем: \(\sqrt{\dfrac{2{,}7 \cdot 4{,}8}{0{,}04}} = \sqrt{\dfrac{12{,}96}{0{,}04}} = \sqrt{324} = 18\).

Пример. Сравните \(2\sqrt{6}\) и \(3\sqrt{3}\).
Решение. \(2\sqrt6 = \sqrt{24}\), \(3\sqrt3 = \sqrt{27}\), поэтому \(3\sqrt{3}\) больше.