Корни нечётной степени. Иррациональные уравнения в задании 14

11 заданий

Корень нечётной степени определён для любого числа и может быть отрицательным, поэтому уравнения с ним решают возведением в степень без дополнительных условий. Уравнения с корнями чётной степени в задании 14 требуют оформленного отбора: указания ОДЗ и проверки.

Правила. \(\sqrt[3]{f(x)} = a \iff f(x) = a^3\) при любом \(a\); \(\sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{g(x)} \iff f(x) = g(x)\). Для уравнения вида \(\sqrt{f(x)} \cdot h(x) = 0\): \[\sqrt{f(x)} \cdot h(x) = 0 \iff \left[\begin{array}{l} f(x) = 0, \\ h(x) = 0, \; f(x) \ge 0. \end{array}\right.\] Корни \(h(x) = 0\), при которых \(f(x) \lt 0\), посторонние.

Как это работает. Решим уравнение \(\sqrt[3]{x + 5} = 4\) и уравнение \(\sqrt{x - 2}\,(x^2 - 9) = 0\).

Первое: возводим в куб без условий: \(x + 5 = 64\), \(x = 59\).
Второе: произведение равно нулю. Либо \(x - 2 = 0\), \(x = 2\); либо \(x^2 - 9 = 0\), \(x = \pm 3\) при условии \(x - 2 \ge 0\).
Корень \(x = -3\) не подходит: подкоренное выражение \(-5 \lt 0\). Ответ: 59; для второго уравнения 2 и 3.

Ещё пример. а) Решите уравнение \(\sqrt{x^2 - 7x + 10} = \sqrt{x - 2}\). б) Укажите корни на отрезке \([3; 8]\).
Решение. а) \(x^2 - 7x + 10 = x - 2\), \(x^2 - 8x + 12 = 0\), \(x = 2\) или \(x = 6\); условие \(x - 2 \ge 0\) выполнено для обоих. б) На отрезке \([3; 8]\) лежит только 6. Ответ: а) 2; 6; б) 6.

Лайфхак. В произведении с корнем сначала выписывайте ОДЗ \(f(x) \ge 0\), затем решайте каждый множитель. Корень самого \(\sqrt{f(x)} = 0\) всегда входит в ОДЗ, проверять нужно только корни второго множителя.

Типичная ошибка. Для \(\sqrt[3]{x} = -2\) пишут «корней нет» по аналогии с квадратным корнем. Кубический корень из отрицательного числа существует: \(x = -8\).

На ЕГЭ. Задание 7: «\(\sqrt[3]{x - 4} = 3\)» — ответ 31. В задании 14 встречаются уравнения вида \(\sqrt{\cos x}\,(2\sin x - 1) = 0\): корни второго множителя отбирают по условию \(\cos x \ge 0\) на окружности.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward