Два корня и замена t = √x
Если корней два и они стоят по одну сторону, один из них «уединяют» — переносят так, чтобы с одной стороны остался только корень, — и возводят в квадрат; иногда это приходится делать дважды. Если под корнем везде одно и то же выражение, помогает замена.
Приёмы. 1) Уединение корня: \(\sqrt{A} - \sqrt{B} = c \Rightarrow \sqrt{A} = \sqrt{B} + c\), затем в квадрат: \(A = B + 2c\sqrt{B} + c^2\); остаётся один корень — уединяем его и возводим ещё раз. Проверка корней обязательна. 2) Замена: в уравнении \(x - 8\sqrt{x} + 12 = 0\) полагают \(t = \sqrt{x} \ge 0\), тогда \(x = t^2\) и уравнение становится квадратным.
Как это работает. Решим уравнение \(\sqrt{x + 9} - \sqrt{x} = 1\).
- Уединяем корень: \(\sqrt{x + 9} = \sqrt{x} + 1\). Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \(x + 9 = x + 2\sqrt{x} + 1\).
- Упрощаем: \(2\sqrt{x} = 8\), \(\sqrt{x} = 4\), \(x = 16\).
- Проверка: \(\sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1\). Ответ: 16.
Ещё пример. Решите уравнение \(x - 8\sqrt{x} + 12 = 0\).
Решение. Замена \(t = \sqrt{x}\), \(t \ge 0\): \(t^2 - 8t + 12 = 0\), \(t = 2\) или \(t = 6\) — оба подходят. Возвращаемся: \(x = 4\) или \(x = 36\). Ответ: 4; 36. Сумма корней 40.
Лайфхак. Перед возведением в квадрат расставьте корни так, чтобы обе части были заведомо неотрицательны (\(\sqrt{A} = \sqrt{B} + c\) при \(c \gt 0\)). Тогда возведение в квадрат — равносильное преобразование, и посторонних корней не появится.
Типичная ошибка. Возводят в квадрат «почленно»: \((\sqrt{A} - \sqrt{B})^2 = A - B\). Квадрат разности содержит удвоенное произведение: \(A - 2\sqrt{AB} + B\).
На ЕГЭ. Уравнения с двумя корнями — материал задания 14 и части задач 19. Замена \(t = \sqrt{x}\) встречается и в задании 7 в виде \(\sqrt{x} = \ldots\) после группировки.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward