Уравнение √f(x) = √g(x)
Если корни стоят в обеих частях, их квадраты равны, но нужно проследить, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. Достаточно потребовать это от одного из них — второе равно ему.
Правило. \[\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \ge 0 \end{cases}\] (вместо \(g \ge 0\) можно взять \(f \ge 0\) — то, что проще). Уравнение \(\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = 0\) имеет решения, только если оба корня одновременно равны нулю.
Как это работает. Решим уравнение \(\sqrt{x + 20} = \sqrt{4x - 4}\).
- Приравниваем подкоренные выражения: \(x + 20 = 4x - 4\), откуда \(3x = 24\), \(x = 8\).
- Проверяем неотрицательность: \(4x - 4 = 28 \ge 0\).
- Ответ: 8.
Ещё пример. Решите уравнение \(\sqrt{x^2 - 6x} = \sqrt{2x - 15}\).
Решение. \(x^2 - 6x = 2x - 15\), \(x^2 - 8x + 15 = 0\), \(x = 3\) или \(x = 5\). Проверяем \(2x - 15 \ge 0\): при \(x = 3\) получаем \(-9\), при \(x = 5\) получаем \(-5\). Оба отрицательны. Ответ: корней нет.
Лайфхак. Проверяйте то подкоренное выражение, которое проще (обычно линейное). Если оно отрицательно, корень посторонний — второе выражение проверять не нужно.
Типичная ошибка. Получив \(f(x) = g(x)\), забывают, что в исходном уравнении под корнями стояли конкретные выражения, и записывают корень, при котором они отрицательны: корень из отрицательного числа не существует, равенство теряет смысл.
На ЕГЭ. Задание 7: «Решите уравнение \(\sqrt{x + 1} = \sqrt{2x - 5}\)» — ответ 6. Ответ «корней нет» в задании с кратким ответом невозможен, поэтому, получив его, пересчитайте.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward