Уравнение √f(x) = g(x): возведение в квадрат и проверка
Когда справа стоит выражение с неизвестным, возведение в квадрат может дать посторонние корни: квадраты равны и у чисел с разными знаками. Поэтому к уравнению добавляют условие — правая часть неотрицательна — или выполняют проверку подстановкой.
Правило. \[\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g^2(x), \\ g(x) \ge 0. \end{cases}\] Условие \(f(x) \ge 0\) снова лишнее — оно следует из первого уравнения. Вместо условия \(g(x) \ge 0\) можно проверить найденные корни подстановкой в исходное уравнение.
Как это работает. Решим уравнение \(\sqrt{x + 30} = x\).
- Условие на правую часть: \(x \ge 0\).
- Возводим в квадрат: \(x + 30 = x^2\), \(x^2 - x - 30 = 0\), корни 6 и \(-5\).
- Корень \(-5\) не удовлетворяет условию \(x \ge 0\) (и подстановка: \(\sqrt{25} = 5 \ne -5\)). Ответ: 6.
Ещё пример. Решите уравнение \(\sqrt{2x + 1} = x - 1\).
Решение. Условие \(x \ge 1\). Возводим: \(2x + 1 = x^2 - 2x + 1\), \(x^2 - 4x = 0\), \(x = 0\) или \(x = 4\). Условию удовлетворяет только 4: проверка \(\sqrt 9 = 3 = 4 - 1\). Ответ: 4.
Лайфхак. Условие \(g(x) \ge 0\) короче, чем проверка, когда корни «некрасивые». Если же корни целые, подстановка быстрее и надёжнее: она отлавливает и арифметические ошибки.
Типичная ошибка. Записывают оба корня квадратного уравнения в ответ. Корень, при котором правая часть отрицательна, посторонний: он появился от возведения в квадрат.
На ЕГЭ. Задание 7: «Решите уравнение \(\sqrt{3x - 2} = x - 2\)» — после возведения \(x^2 - 7x + 6 = 0\), корни 1 и 6, подходит только 6. В задании 14 возведение в квадрат появляется при решении уравнений с корнем из тригонометрического выражения.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward