Уравнение √f(x) = a
Иррациональным называют уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком корня. Простейший случай — корень равен числу. Решение опирается на определение арифметического корня: он неотрицателен, и его квадрат равен подкоренному выражению.
Правило. \[\sqrt{f(x)} = a \iff \begin{cases} f(x) = a^2, \\ a \ge 0. \end{cases}\] При \(a \lt 0\) уравнение корней не имеет. Условие \(f(x) \ge 0\) проверять не нужно: оно выполняется автоматически, так как \(f(x) = a^2 \ge 0\).
Как это работает. Решим уравнение \(\sqrt{4x - 18} = 4\).
- Правая часть неотрицательна, значит, уравнение может иметь корни. Возводим обе части в квадрат: \(4x - 18 = 16\).
- Решаем линейное уравнение: \(4x = 34\), \(x = 8{,}5\).
- Проверка: \(\sqrt{34 - 18} = \sqrt{16} = 4\). Ответ: 8,5.
Ещё пример. Решите уравнение \(\sqrt{x^2 - 5x + 9} = 3\).
Решение. \(x^2 - 5x + 9 = 9\), \(x^2 - 5x = 0\), \(x(x - 5) = 0\), \(x = 0\) или \(x = 5\). Оба корня подходят (подкоренное выражение равно 9). Ответ: 0; 5.
Лайфхак. Если в задании 7 просят «если корней несколько, укажите меньший», в уравнении \(\sqrt{f(x)} = a\) с квадратным \(f\) корней обычно два — не останавливайтесь на первом найденном.
Типичная ошибка. Уравнение \(\sqrt{x + 3} = -2\) «решают»: \(x + 3 = 4\), \(x = 1\). Но \(\sqrt{4} = 2 \ne -2\). Арифметический корень не бывает отрицательным: корней нет.
На ЕГЭ. Задание 7: «Найдите корень уравнения \(\sqrt{15 - 2x} = 3\)» — ответ 3. Уравнение \(\sqrt[3]{f(x)} = a\) решают так же, но без ограничения на знак \(a\): \(f(x) = a^3\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward