Кратные корни и типичные ошибки

Множитель \((x - c)^2\) не меняет знак выражения при переходе через \(c\): точка \(c\) либо целиком входит в ответ (нестрогое неравенство, числитель), либо выкалывается. Множитель \((x - c)^3\) ведёт себя как \((x - c)\).

Пример. Решите неравенство \(\dfrac{(x - 1)^2(x - 4)}{x + 2} \le 0\).
Решение. Точки \(-2\) (выколотая), \(1\) (корень чётной кратности, закрашена) и \(4\) (закрашена). Знаки справа налево: \(+\) на \((4; +\infty)\), \(-\) на \((1; 4)\), \(-\) на \((-2; 1)\) (через \(x = 1\) знак не меняется), \(+\) на \((-\infty; -2)\). Ответ: \((-2; 4]\) — точка 1 лежит внутри промежутка.

Пример. Решите неравенство \(\dfrac{x^2 - 4}{(x - 3)^2} \gt 0\).
Решение. Числитель \((x - 2)(x + 2)\), знаменатель положителен при \(x \ne 3\). Ответ: \((-\infty; -2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)\) — точку 3 обязательно выколоть.

Если старший коэффициент отрицателен, удобно умножить неравенство на \(-1\), сменив знак: \(-x^2 + 3x \ge 0\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2 - 3x \le 0\) \(\Leftrightarrow\) \(0 \le x \le 3\). Множитель, не имеющий корней (\(x^2 + 1\)), на знак не влияет — его отбрасывают.