Метод интервалов

11 заданий

Метод интервалов решает неравенство вида \(P(x) \gt 0\), где \(P\) разложен на множители. Нули множителей делят числовую прямую на интервалы, внутри каждого знак произведения постоянен. Достаточно определить знак в одной точке интервала и проследить, как он меняется при переходе через корни.

Алгоритм. 1) Перенести всё в одну часть, разложить на множители. 2) Найти нули каждого множителя, отметить их на прямой (закрашенные при \(\ge\), \(\le\); выколотые при \(\gt\), \(\lt\)). 3) Определить знак на крайнем правом интервале (при положительных старших коэффициентах — плюс). 4) При переходе через каждый простой корень знак меняется. 5) Выписать интервалы с нужным знаком.

Метод интервалов: отмечаем нули на прямой и расставляем знаки, начиная справа

Как это работает. Решим неравенство \((x + 2)(x - 1)(x - 4) \lt 0\).

Нули: \(-2\), \(1\), \(4\) — выколотые (неравенство строгое). Четыре интервала.
Справа от 4 все множители положительны: знак плюс. Переходя через 4, 1 и \(-2\), знаки чередуются: \(+\), \(-\), \(+\), \(-\) (справа налево).
Нужны минусы: \((1; 4)\) и \((-\infty; -2)\). Ответ: \((-\infty; -2) \cup (1; 4)\).

Ещё пример. Сколько целых чисел из отрезка \([-10; 10]\) удовлетворяют неравенству \((x - 3)(x + 5) \ge 0\)?
Решение. Корни \(-5\) и \(3\), закрашены; произведение неотрицательно вне корней: \(x \le -5\) или \(x \ge 3\). Целые на отрезке: от \(-10\) до \(-5\) — 6 чисел, от 3 до 10 — 8 чисел. Ответ: 14.

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1. Решите неравенство \((x - 2)(x + 1)(x - 5) \ge 0\).

Нули: \(-1\), 2, 5. Отмечаем их на прямой закрашенными точками (неравенство нестрогое).
Знаки справа налево: правее 5 все скобки положительны — «плюс»; каждый переход через нуль меняет знак: на \((2; 5)\) «минус», на \((-1; 2)\) «плюс», левее \(-1\) «минус».
Берём промежутки со знаком «плюс» вместе с концами: \([-1; 2]\) и \([5; +\infty)\).

Ответ: \([-1; 2] \cup [5; +\infty)\).

Задача 2. Найдите число целых решений неравенства \(x(x - 6) \lt 0\).

Нули 0 и 6, ветви вверх — отрицательно между корнями: \(0 \lt x \lt 6\).
Целые: 1, 2, 3, 4, 5 — концы 0 и 6 не входят (строгое неравенство).

Ответ: 5.

Лайфхак. Приведите каждый множитель к виду \((x - x_0)\) с положительным коэффициентом при \(x\): \((3 - x) = -(x - 3)\), минус вынесите перед произведением. Тогда самый правый интервал всегда имеет знак, равный знаку общего множителя, и чередование начинается без сюрпризов.

Типичная ошибка. Чередуют знаки механически, не проверяя, что все корни простые и множители линейные. Множитель \(x^2 + 1\) корней не имеет и знак не меняет; квадрат \((x - 1)^2\) меняет его дважды, то есть не меняет (следующий урок).

На ЕГЭ. Метод интервалов — обязательная техника задания 15: после рационализации или замены получается произведение множителей, и расстановка знаков — последняя строка перед ответом.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward