Метод интервалов

Неравенство \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} \vee 0\) (знак \(\vee\) — любой из \(\gt, \ge, \lt, \le\)) решают так:

1. перенести всё в одну часть и разложить числитель и знаменатель на линейные множители;
2. отметить на прямой нули числителя (закрашенные точки при нестрогом знаке, выколотые при строгом) и нули знаменателя (всегда выколотые);
3. определить знак на крайнем правом промежутке (при положительных старших коэффициентах он «плюс») и расставить знаки, меняя их при переходе через корень нечётной кратности и сохраняя при чётной;
4. выбрать промежутки нужного знака и записать ответ объединением.

Пример. Решите неравенство \(\dfrac{x - 3}{x + 2} \ge 0\).
Решение. Точки \(-2\) (выколотая) и \(3\) (закрашенная). Знаки: \(+\) на \((3; +\infty)\), \(-\) на \((-2; 3)\), \(+\) на \((-\infty; -2)\). Ответ: \((-\infty; -2) \cup [3; +\infty)\).

Пример. Решите неравенство \(x^2 - 5x + 6 \lt 0\).
Решение. \((x - 2)(x - 3) \lt 0\): парабола ветвями вверх ниже оси между корнями. Ответ: \((2; 3)\).