Квадрат суммы и разности, разность квадратов
Формулы сокращённого умножения — это заранее раскрытые скобки. Их знают наизусть в обе стороны: слева направо раскрывают, справа налево — сворачивают выражение в квадрат или в произведение.
Формулы. \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\] Из первых двух: \((a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)\) и \((a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\).
Как это работает. Найдём значение выражения \(\dfrac{(2\sqrt7 + 3)^2 + (2\sqrt7 - 3)^2}{37}\).
- Сумма квадратов суммы и разности равна удвоенной сумме квадратов: \((a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)\) при \(a = 2\sqrt7\), \(b = 3\).
- \(a^2 = 4 \cdot 7 = 28\), \(b^2 = 9\), поэтому числитель равен \(2(28 + 9) = 74\).
- \(74 : 37 = 2\). Ответ: 2.
Ещё пример. Вычислите \(53^2 - 47^2\).
Решение. Разность квадратов: \((53 - 47)(53 + 47) = 6 \cdot 100 = 600\). Ответ: 600.
Лайфхак. Увидев два «сопряжённых» выражения \(x + y\) и \(x - y\), не раскрывайте скобки по отдельности: сумма их квадратов даёт \(2(x^2 + y^2)\), разность — \(4xy\), произведение — \(x^2 - y^2\). Так считают устно.
Типичная ошибка. \((a + b)^2 \ne a^2 + b^2\). Удвоенное произведение теряют чаще всего: \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\), а не \(x^2 + 9\).
На ЕГЭ. Задание 8: «\(\dfrac{(\sqrt{13} + \sqrt{7})^2 + (\sqrt{13} - \sqrt{7})^2}{10}\)» (ответ 4), «\((\sqrt{11} - 2)(\sqrt{11} + 2)\)» (ответ 7). Разность квадратов — главный способ разложения на множители в задании 14 и в методе интервалов задания 15.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward