Куб суммы, сумма кубов и разложение на множители
Формулы третьей степени встречаются реже, но в заданиях 8 и 14 без них не обойтись. Вторая часть урока — общие приёмы разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя и группировка.
Формулы. \[(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3, \qquad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), \qquad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\] Приёмы разложения: 1) вынести общий множитель: \(6x^2 - 4x = 2x(3x - 2)\); 2) сгруппировать: \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x^2 - 4)\); 3) применить формулу; 4) для квадратного трёхчлена: \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\).
Как это работает. Разложим на множители и найдём корни многочлена \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12\).
- Группируем первые два и последние два слагаемых: \(x^2(x - 3) - 4(x - 3)\).
- Выносим общую скобку: \((x - 3)(x^2 - 4)\).
- Разность квадратов: \((x - 3)(x - 2)(x + 2)\). Корни: \(3\), \(2\), \(-2\). Ответ: \((x - 3)(x - 2)(x + 2)\).
Ещё пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{a^3 + 8}{a + 2} - a^2\) при \(a = 7\).
Решение. \(a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)\). После сокращения остаётся \(a^2 - 2a + 4 - a^2 = 4 - 2a = 4 - 14 = -10\). Ответ: \(-10\).
Лайфхак. В формуле суммы кубов «неполный квадрат» \(a^2 - ab + b^2\) имеет знак, противоположный знаку в первой скобке. Запомните: \(a^3 + b^3\) — «плюс, минус», \(a^3 - b^3\) — «минус, плюс».
Типичная ошибка. \(a^3 + b^3 \ne (a + b)^3\): при \(a = b = 1\) слева 2, справа 8. Куб суммы содержит ещё слагаемые \(3a^2 b + 3ab^2\).
На ЕГЭ. Разложение на множители нужно, чтобы решить уравнение \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0\) (задание 7 или часть задания 14) и чтобы сократить дробь в задании 8. Трёхчлен \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\) раскладывают по корням, найденным через теорему Виета.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward