Алгебраические дроби: сокращение
Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и знаменателе которой стоят выражения с переменными. Сокращать её можно только на общий множитель, поэтому сначала числитель и знаменатель раскладывают на множители.
Правило. \[\dfrac{A \cdot C}{B \cdot C} = \dfrac{A}{B}, \qquad C \ne 0.\] Порядок действий: 1) разложить числитель и знаменатель на множители (вынесение, формулы, корни трёхчлена); 2) зачеркнуть одинаковые множители; 3) помнить, что знаменатель исходной дроби не равен нулю — область допустимых значений (ОДЗ) после сокращения не расширяется.
Как это работает. Сократим дробь \(\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}\).
- Числитель — разность квадратов: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\).
- Знаменатель — квадрат суммы: \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).
- Сокращаем на \((x + 3)\): \(\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x - 3}{x + 3}\), при \(x \ne -3\). Ответ: \(\dfrac{x - 3}{x + 3}\).
Ещё пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{a^2 - 7a + 12}{a - 3}\) при \(a = 103\).
Решение. Корни трёхчлена \(a^2 - 7a + 12\) по теореме Виета: 3 и 4, поэтому \(a^2 - 7a + 12 = (a - 3)(a - 4)\). После сокращения остаётся \(a - 4 = 99\). Ответ: 99.
Лайфхак. Если подставить число «в лоб» трудно (\(a = 103\)), это сигнал: дробь сокращается. Сначала упрощайте, потом подставляйте. Разность \(b - a\) превращается в \(-(a - b)\): так появляется общий множитель с другой скобкой.
Типичная ошибка. Сокращение слагаемого: \(\dfrac{x^2 + 4}{x^2}\) не равно \(1 + 4\). Сокращать можно лишь множители, общие для всего числителя и всего знаменателя.
На ЕГЭ. Задание 8: «\(\dfrac{(2a)^2 - 9}{2a - 3}\) при \(a = 5\)» (ответ 13), «\(\dfrac{x^2 - 10x + 25}{x - 5}\) при \(x = 15\)» (ответ 10). В задании 7 уравнение \(\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = 0\) решают с учётом ОДЗ: корень \(-3\) посторонний.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward