Действия с алгебраическими дробями
Действия с алгебраическими дробями выполняют по тем же правилам, что и с числовыми: складывают с общим знаменателем, умножают «числитель на числитель», делят умножением на обратную дробь. Отличие одно — перед действиями знаменатели раскладывают на множители, чтобы найти наименьший общий знаменатель.
Правила. \[\dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{D} = \dfrac{AD \pm BC}{BD}, \qquad \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}, \qquad \dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{AD}{BC}.\] Общий знаменатель — произведение всех различных множителей знаменателей в наибольших степенях. Частный случай: \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{(x + 1) - x}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x(x + 1)}\).
Как это работает. Упростим \(\dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{12}{x^2 - 4}\) и найдём значение при \(x = 5\).
- Раскладываем знаменатель второй дроби: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Общий знаменатель — \((x - 2)(x + 2)\).
- Дополнительный множитель первой дроби — \((x + 2)\): \(\dfrac{3(x + 2) - 12}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{3x - 6}{(x - 2)(x + 2)}\).
- Числитель \(3x - 6 = 3(x - 2)\), сокращаем: \(\dfrac{3}{x + 2}\). При \(x = 5\): \(\dfrac{3}{7}\). Проверка подстановкой в исходное: \(\dfrac{3}{3} - \dfrac{12}{21} = 1 - \dfrac47 = \dfrac37\). Ответ: \(\dfrac37\).
Ещё пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{a}{a - b} : \dfrac{a^2}{a^2 - b^2}\) при \(a = 3\), \(b = 1\).
Решение. \(\dfrac{a}{a - b} \cdot \dfrac{(a - b)(a + b)}{a^2} = \dfrac{a + b}{a} = \dfrac{4}{3}\). Ответ: \(\dfrac43\).
Лайфхак. Если в задании 8 дробь нужно вычислить при конкретных числах, сравните два пути: упростить, затем подставить — или подставить сразу. Подстановка в упрощённое выражение почти всегда короче и безопаснее; но при простых числах прямая подстановка — хорошая проверка.
Типичная ошибка. Знаменатели не складывают: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ne \dfrac{2}{x + y}\). Верно: \(\dfrac{x + y}{xy}\).
На ЕГЭ. Задание 8: «\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) при \(x + y = 7\), \(xy = 2\)» — свернуть в \(\dfrac{x + y}{xy} = 3{,}5\). В текстовых задачах 11 выражения \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 6} = \dfrac14\) приводят к общему знаменателю и решают как квадратное уравнение.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward