Симметрические выражения и выражения с модулем
Иногда по отдельности переменные неизвестны, а известны их сумма и произведение. Тогда симметричное выражение (не меняющееся при перестановке переменных) выражают через эти две величины. Второй приём урока — раскрытие модуля по знаку выражения под ним.
Формулы. \[x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy, \qquad x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y), \qquad (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy,\] \[a^2 + \dfrac{1}{a^2} = \left(a + \dfrac1a\right)^2 - 2, \qquad \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy}.\] Модуль: \(|A| = A\), если \(A \ge 0\), и \(|A| = -A\), если \(A \lt 0\); \(|A|^2 = A^2\); \(|AB| = |A| \cdot |B|\).
Как это работает. Найдём \(x^2 + y^2\), если \(x + y = 5\) и \(xy = 3\).
- Возводим сумму в квадрат: \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 25\).
- Выражаем сумму квадратов: \(x^2 + y^2 = 25 - 2xy = 25 - 6 = 19\).
- Проверка невозможна подбором целых \(x\), \(y\) (их нет), но формула не зависит от этого. Ответ: 19.
Ещё пример. Упростите \(|x - 3| + |x + 1|\) при \(-1 \lt x \lt 3\).
Решение. На этом промежутке \(x - 3 \lt 0\), значит, \(|x - 3| = 3 - x\); \(x + 1 \gt 0\), значит, \(|x + 1| = x + 1\). Сумма: \(3 - x + x + 1 = 4\). Ответ: 4.
Лайфхак. Если дано \(a + \dfrac1a = 3\), то \(a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7\), а \(a^4 + \dfrac{1}{a^4} = 49 - 2 = 47\): каждый раз «квадрат минус два». Для разности \(a - \dfrac1a = 3\) получится \(a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 9 + 2 = 11\).
Типичная ошибка. Раскрывают модуль «по знаку переменной», а не по знаку всего выражения: при \(x = 2\) выражение \(x - 3\) отрицательно, хотя \(x\) положителен; \(|x - 3| = 3 - x\).
На ЕГЭ. Задание 8 с условиями вида «\(x + y = 6\), \(xy = 5\), найдите \(x^2 + y^2\)». Раскрытие модуля на промежутках — основа задания 15 с модулем и задания 19 с параметром, где функция \(|x - a|\) задаётся кусочно.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward