Квадратный корень: определение и точные квадраты

11 заданий

Квадратный корень из числа \(a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается: квадрат любого числа неотрицателен. Корень всегда один: \(\sqrt{25} = 5\), а не \(\pm 5\).

Определение. \(\sqrt{a} = b\) означает, что \(b \ge 0\) и \(b^2 = a\) (при \(a \ge 0\)). Следствия: \[\left(\sqrt{a}\right)^2 = a \;(a \ge 0), \qquad \sqrt{a^2} = |a| \text{ при любом } a.\] Например, \(\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7\).

Как это работает. Вычислим \(\sqrt{0{,}0144}\) и \(\sqrt{1{,}44 \cdot 10^4}\).

Представляем число квадратом: \(0{,}0144 = 0{,}12^2\), поскольку \(12^2 = 144\), а запятая отступает на половину знаков: четыре знака после запятой в числе — два в корне. Значит, \(\sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\).
\(1{,}44 \cdot 10^4 = 14\,400 = 120^2\), поэтому \(\sqrt{14\,400} = 120\).
Проверка возведением в квадрат: \(0{,}12^2 = 0{,}0144\), \(120^2 = 14\,400\). Ответ: 0,12 и 120.

Ещё пример. Найдите значение выражения \(\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2}\).
Решение. По формуле \(\sqrt{a^2} = |a|\) получаем \(|3 - \sqrt{10}|\). Так как \(\sqrt{10} \gt \sqrt{9} = 3\), выражение под модулем отрицательно, и \(|3 - \sqrt{10}| = \sqrt{10} - 3\). Ответ: \(\sqrt{10} - 3\).

Лайфхак. Выучите квадраты чисел до 25 и «особые» квадраты: \(16^2 = 256\), \(25^2 = 625\), \(32^2 = 1024\), а также \(1{,}5^2 = 2{,}25\), \(2{,}5^2 = 6{,}25\), \(0{,}5^2 = 0{,}25\). Квадрат числа, оканчивающегося на 5, считается устно: \(35^2 = 3 \cdot 4\) и «25» — 1225.

Типичная ошибка. \(\sqrt{a^2} = a\) верно только при \(a \ge 0\). Для \(a = -3\): \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt 9 = 3 \ne -3\). Поэтому при раскрытии корня из квадрата пишут модуль и затем смотрят на знак.

На ЕГЭ. Формула \(\sqrt{a^2} = |a|\) нужна в задании 8 (выражения вида \(\sqrt{(a - b)^2}\)) и в задании 14 при решении иррациональных уравнений, где корень из квадрата возникает после возведения в степень.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward