Корень n-й степени: чётные и нечётные степени
Корень \(n\)-й степени обобщает квадратный корень: \(\sqrt[n]{a}\) — число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Поведение корня зависит от чётности \(n\).
Определение. При чётном \(n\) арифметический корень \(\sqrt[n]{a}\) определён только для \(a \ge 0\) и сам неотрицателен: \(\sqrt[4]{81} = 3\). При нечётном \(n\) корень определён для любого \(a\) и имеет знак подкоренного числа: \(\sqrt[3]{-8} = -2\), \(\sqrt[5]{-32} = -2\). Для любого \(a\): \[\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a, \qquad \sqrt[n]{a^n} = |a| \text{ при чётном } n, \quad \sqrt[n]{a^n} = a \text{ при нечётном } n.\]
Как это работает. Вычислим \(\sqrt[3]{-0{,}125} + \sqrt[4]{625}\).
- Куб какого числа равен \(-0{,}125\)? Так как \(0{,}5^3 = 0{,}125\), получаем \(\sqrt[3]{-0{,}125} = -0{,}5\).
- Четвёртая степень какого неотрицательного числа равна 625? \(5^4 = 625\), поэтому \(\sqrt[4]{625} = 5\).
- Складываем: \(-0{,}5 + 5 = 4{,}5\). Ответ: 4,5.
Ещё пример. Найдите значение \(\sqrt[6]{(-2)^6}\) и \(\sqrt[3]{(-2)^3}\).
Решение. Степень 6 чётная: \(\sqrt[6]{(-2)^6} = |-2| = 2\). Степень 3 нечётная: \(\sqrt[3]{(-2)^3} = -2\). Ответ: 2 и \(-2\).
Лайфхак. Держите в памяти кубы \(2^3 = 8\), \(3^3 = 27\), \(4^3 = 64\), \(5^3 = 125\), \(6^3 = 216\), \(7^3 = 343\), \(8^3 = 512\), \(9^3 = 729\), \(10^3 = 1000\) и степени двойки до \(2^{10} = 1024\). Тогда \(\sqrt[3]{216}\), \(\sqrt[5]{32}\), \(\sqrt[4]{16}\) считаются мгновенно.
Типичная ошибка. \(\sqrt[4]{-16}\) не существует (чётная степень из отрицательного числа), а \(\sqrt[3]{-27} = -3\) — существует. Эти случаи нельзя путать: первое — ошибка в условии или в вычислениях, второе — обычный ответ.
На ЕГЭ. Кубические корни и корни чётной степени из отрицательных выражений появляются в задании 8 и при нахождении области определения функции в задании 14 (уравнение с корнем) и задании 15 (неравенство).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward