Свойства корней: произведение, частное, вынесение множителя
Корень из произведения равен произведению корней, корень из частного — частному корней. Эти свойства позволяют упрощать корни из больших чисел и избавляться от «некрасивых» подкоренных выражений.
Формулы (все подкоренные выражения неотрицательны): \[\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \qquad \sqrt[n]{a^k} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^k, \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}.\] Вынесение множителя: \(\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}\) при \(a \ge 0\); внесение: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) при \(a \ge 0\).
Как это работает. Упростим \(\sqrt{72} - \sqrt{32} + \sqrt{50}\).
- Выделяем в каждом подкоренном числе наибольший точный квадрат: \(72 = 36 \cdot 2\), \(32 = 16 \cdot 2\), \(50 = 25 \cdot 2\).
- Выносим множители: \(\sqrt{72} = 6\sqrt2\), \(\sqrt{32} = 4\sqrt2\), \(\sqrt{50} = 5\sqrt2\).
- Складываем подобные: \(6\sqrt2 - 4\sqrt2 + 5\sqrt2 = 7\sqrt2\). Ответ: \(7\sqrt2\).
Ещё пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{\sqrt{150} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{25}}\).
Решение. Произведение корней объединяем в один корень: \(\sqrt{150 \cdot 6} = \sqrt{900} = 30\). Делим на \(\sqrt{25} = 5\): \(30 : 5 = 6\). Ответ: 6.
Лайфхак. Перед умножением корней не вычисляйте каждый отдельно — объедините под один корень и разложите на множители: \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{324} = 18\), потому что \(12 \cdot 27 = 4 \cdot 3 \cdot 27 = 4 \cdot 81\).
Типичная ошибка. Корень из суммы не равен сумме корней: \(\sqrt{9 + 16} = 5\), а \(\sqrt 9 + \sqrt{16} = 7\). Свойства работают только для произведения и частного.
На ЕГЭ. Задание 8 часто даёт выражение вида \(\dfrac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{c}}\) или \(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[6]{c}\); его решают, собирая всё под один корень или переходя к степеням с дробным показателем (тема 1.4).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward