Сравнение корней и освобождение от иррациональности
Два приёма завершают работу с корнями: сравнение чисел, содержащих корни, и избавление от корня в знаменателе. Оба используют свойство монотонности: для неотрицательных чисел большее число имеет больший квадрат и больший корень.
Правила. Для \(a, b \ge 0\): \(\sqrt a \lt \sqrt b \iff a \lt b\); чтобы сравнить \(m\sqrt a\) и \(n\sqrt b\), вносят множители под корень и сравнивают \(m^2 a\) и \(n^2 b\). Освобождение от иррациональности: \[\dfrac{1}{\sqrt a} = \dfrac{\sqrt a}{a}, \qquad \dfrac{1}{\sqrt a - \sqrt b} = \dfrac{\sqrt a + \sqrt b}{a - b}\] (умножение на сопряжённое выражение; \((\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b) = a - b\)).
Как это работает. Сравним \(3\sqrt5\) и \(2\sqrt{11}\).
- Вносим множители под корень: \(3\sqrt5 = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\), \(2\sqrt{11} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44}\).
- Сравниваем подкоренные числа: \(45 \gt 44\).
- Значит, \(3\sqrt5 \gt 2\sqrt{11}\). Ответ: \(3\sqrt5\) больше.
Ещё пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{10}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt7 + \sqrt2\right)^{-1}\).
Решение. Произведение \((\sqrt7 - \sqrt2)(\sqrt7 + \sqrt2) = 7 - 2 = 5\) стоит в знаменателе, поэтому выражение равно \(\dfrac{10}{5} = 2\). Ответ: 2.
Лайфхак. Чтобы оценить корень, зажмите подкоренное число между соседними квадратами: \(49 \lt 55 \lt 64\), значит, \(7 \lt \sqrt{55} \lt 8\). Этот приём нужен при отборе корней в задании 14, когда концы отрезка — целые числа, а корень — иррациональный.
Типичная ошибка. Внося отрицательный множитель под корень, теряют знак: \(-2\sqrt3 = -\sqrt{12}\), а не \(\sqrt{12}\). Под корень вносят только модуль множителя, знак остаётся снаружи.
На ЕГЭ. Разность квадратов с корнями \((\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)\) — любимая конструкция задания 8: выражение \(\dfrac{(\sqrt{13} + \sqrt{7})(\sqrt{13} - \sqrt{7})}{3}\) равно \(\dfrac{6}{3} = 2\).
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward