Линейная функция: k и b по графику
Линейная функция \(y = kx + b\) — прямая. Коэффициент \(b\) — ордината точки пересечения с осью \(Oy\), коэффициент \(k\) — угловой: показывает, на сколько меняется \(y\) при увеличении \(x\) на 1. По двум точкам прямой оба коэффициента находят за два действия.
Формулы. \[k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - kx_1.\] \(k \gt 0\) — прямая возрастает, \(k \lt 0\) — убывает, \(k = 0\) — горизонтальна. Параллельные прямые имеют равные \(k\); перпендикулярные — \(k_1 k_2 = -1\). Прямая через точку \((x_0; y_0)\) с угловым коэффициентом \(k\): \(y = k(x - x_0) + y_0\).
Как это работает. Прямая проходит через точки \((-2; 7)\) и \((4; -5)\). Найдём \(k\), \(b\) и значение функции при \(x = 10\).
- \(k = \dfrac{-5 - 7}{4 - (-2)} = \dfrac{-12}{6} = -2\).
- \(b = 7 - (-2)(-2) = 7 - 4 = 3\). Формула: \(y = -2x + 3\). Проверка второй точкой: \(-8 + 3 = -5\).
- \(f(10) = -20 + 3 = -17\). Ответ: \(k = -2\), \(b = 3\), \(f(10) = -17\).
Ещё пример. На рисунке график \(y = kx + b\) проходит через точки \((0; -1)\) и \((3; 5)\). Найдите \(k + b\).
Решение. \(b = -1\) (пересечение с осью \(Oy\)); \(k = \dfrac{5 - (-1)}{3 - 0} = 2\). Сумма \(k + b = 1\). Ответ: 1.
Лайфхак. На клетчатом рисунке \(k\) — это «подъём на шаг»: выберите две точки прямой в узлах сетки и разделите вертикальный сдвиг на горизонтальный. Если прямая идёт вниз, \(k\) отрицателен. Точку \(b\) читайте там, где прямая пересекает ось \(Oy\), а не ось \(Ox\).
Типичная ошибка. Переставляют разности в формуле \(k\): \(\dfrac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}\) даёт знак наоборот. Берите координаты в одном порядке в числителе и знаменателе.
На ЕГЭ. Задание 12: «На рисунке изображён график функции \(f(x) = kx + b\). Найдите \(f(-12)\)» — находят \(k\) и \(b\) по двум узлам и подставляют. Касательная в задании 9 — тоже прямая: \(k = f'(x_0)\), и его читают по двум точкам касательной.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward