Монотонность и экстремумы по графику

11 заданий

Функция возрастает, если с ростом \(x\) растёт и \(y\) (график идёт вверх слева направо), и убывает, если \(y\) уменьшается. Точки, где возрастание сменяется убыванием, — точки максимума; где убывание сменяется возрастанием, — точки минимума. Всё это читается с графика.

Определения. \(f\) возрастает на промежутке, если для любых \(x_1 \lt x_2\) из него \(f(x_1) \lt f(x_2)\); убывает, если \(f(x_1) \gt f(x_2)\). Точка \(x_0\) — точка максимума, если \(f(x_0) \ge f(x)\) для всех \(x\) из некоторой окрестности; значение \(f(x_0)\) — максимум функции. Точки максимума и минимума вместе — точки экстремума. Наибольшее значение на отрезке — самая высокая точка графика на нём (достигается в точке экстремума или на конце отрезка).

Как это работает. График функции на отрезке \([-4; 6]\) возрастает на \([-4; -1]\), убывает на \([-1; 3]\), возрастает на \([3; 6]\); \(f(-4) = 1\), \(f(-1) = 5\), \(f(3) = -2\), \(f(6) = 4\). Найдём точки экстремума и наибольшее значение на отрезке.

В точке \(x = -1\) возрастание сменяется убыванием — точка максимума; в \(x = 3\) убывание сменяется возрастанием — точка минимума.
Кандидаты на наибольшее значение: максимум \(f(-1) = 5\) и концы \(f(-4) = 1\), \(f(6) = 4\).
Наибольшее значение 5 достигается в точке \(-1\). Ответ: точка максимума \(-1\), точка минимума 3; наибольшее значение 5.

Ещё пример. Сколько точек экстремума у функции, график которой «волна» с тремя вершинами и двумя впадинами на отрезке?
Решение. Каждая вершина — максимум, каждая впадина — минимум: \(3 + 2 = 5\) точек экстремума. Концы отрезка точками экстремума не считаются. Ответ: 5.

Лайфхак. Различайте «точку максимума» (значение \(x\)) и «максимум» (значение \(y\)). Вопрос «найдите точку максимума» требует абсциссу; «найдите наибольшее значение» — ординату. Эта путаница — самая частая ошибка в задании 9.

Типичная ошибка. Промежутки возрастания записывают по оси \(y\) (по значениям), а нужно по оси \(x\): функция возрастает на \([-4; -1]\), а не на \([1; 5]\).

На ЕГЭ. В задании 9 даны графики функции или её производной: по графику функции находят точки экстремума и промежутки монотонности; по графику производной — те же свойства функции через знак производной (тема 4.2).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward