Нули функции и промежутки знакопостоянства

Нули функции — значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\); на графике это точки пересечения с осью абсцисс. Между соседними нулями (и точками разрыва) непрерывная функция сохраняет знак — это промежутки знакопостоянства. Их находят методом интервалов или читают с графика.

Как это работает. Найдём нули и промежутки знакопостоянства функции \(f(x) = x^2 - 2x - 8\).

1. Нули: \(x^2 - 2x - 8 = 0\), по теореме Виета \(x = -2\) и \(x = 4\).
2. Парабола с ветвями вверх: отрицательна между нулями, положительна вне.
3. \(f(x) \lt 0\) при \(x \in (-2; 4)\); \(f(x) \gt 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\). Пересечение с осью \(Oy\): \((0; -8)\). Ответ: нули \(-2\) и 4; знаки указаны.

Ещё пример. По графику функция положительна на \((-3; 1)\) и \((5; +\infty)\), отрицательна на \((-\infty; -3)\) и \((1; 5)\). Сколько у неё нулей и сколько целых решений имеет неравенство \(f(x) \le 0\) на отрезке \([-6; 6]\)?
Решение. Нули — границы промежутков: \(-3\), 1, 5 — три нуля. Неравенство \(f(x) \le 0\): \(x \le -3\) или \(1 \le x \le 5\); целые на \([-6; 6]\): \(-6, -5, -4, -3\) и \(1, 2, 3, 4, 5\) — девять чисел. Ответ: 3; 9.