Область определения функции
Область определения — все значения аргумента, при которых формула имеет смысл. Её находят по трём «запретам»: нельзя делить на нуль, извлекать корень чётной степени из отрицательного числа и брать логарифм неположительного числа (а также использовать основание логарифма 1 или неположительное).
Условия. \[\dfrac{1}{g(x)}: \; g(x) \ne 0; \qquad \sqrt[2n]{g(x)}: \; g(x) \ge 0; \qquad \log_a g(x): \; g(x) \gt 0; \qquad \log_{h(x)} g(x): \; h(x) \gt 0,\; h(x) \ne 1,\; g(x) \gt 0.\] \(\operatorname{tg} x\): \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k\). Если условий несколько, их записывают системой и находят пересечение. Корень в знаменателе даёт строгое неравенство \(g(x) \gt 0\).
Как это работает. Найдём область определения функции \(y = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{x - 2} + \log_3(x + 1)\).
- Корень: \(6 - x \ge 0\), \(x \le 6\). Знаменатель: \(x \ne 2\). Логарифм: \(x + 1 \gt 0\), \(x \gt -1\).
- Система: \(-1 \lt x \le 6\), \(x \ne 2\).
- Ответ: \((-1; 2) \cup (2; 6]\).
Ещё пример. Найдите количество целых чисел в области определения функции \(y = \sqrt{16 - x^2}\).
Решение. \(16 - x^2 \ge 0\), \(-4 \le x \le 4\). Целые числа от \(-4\) до 4 — их 9. Ответ: 9.
Лайфхак. Условия для разных частей формулы находите по отдельности, каждое — отдельной строкой, затем рисуйте все на одной прямой. Выколотые точки от знаменателя отмечайте в последнюю очередь — их легко потерять при записи ответа.
Типичная ошибка. Для \(\sqrt{x}\) в знаменателе пишут \(x \ge 0\). Нуль под корнем допустим, но тогда знаменатель равен нулю: нужно \(x \gt 0\).
На ЕГЭ. Область определения — первая строка решения заданий 14, 15, 17 с корнями и логарифмами. В базовом ЕГЭ её спрашивают прямо; в профиле она «спрятана» внутри ОДЗ.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward