Линейные неравенства и числовые промежутки
Неравенство решают почти как уравнение: переносят слагаемые, приводят подобные, делят на коэффициент. Единственное отличие — при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Ответ — не число, а множество чисел, которое записывают промежутком.
Правила. Если \(a \lt b\), то \(a + c \lt b + c\); при \(c \gt 0\): \(ac \lt bc\); при \(c \lt 0\): \(ac \gt bc\). Промежутки: \(x \gt 3\) — это \((3; +\infty)\), \(x \le -1\) — это \((-\infty; -1]\), \(-2 \lt x \le 5\) — это \((-2; 5]\). Круглая скобка — конец не включён (строгое неравенство), квадратная — включён. Бесконечность всегда с круглой скобкой.
Как это работает. Решим неравенство \(5 - 2(x + 1) \ge 3x + 13\).
- Раскрываем скобки: \(5 - 2x - 2 \ge 3x + 13\), то есть \(3 - 2x \ge 3x + 13\).
- Переносим: \(-2x - 3x \ge 13 - 3\), \(-5x \ge 10\).
- Делим на \(-5\) и меняем знак: \(x \le -2\). Ответ: \((-\infty; -2]\).
Ещё пример. Найдите наибольшее целое решение неравенства \(4x + 1 \lt 11\).
Решение. \(4x \lt 10\), \(x \lt 2{,}5\). Целые решения: \(2, 1, 0, \ldots\); наибольшее — 2. Ответ: 2.
Лайфхак. Чтобы не делить на отрицательное число, перенесите неизвестные в ту часть, где коэффициент получится положительным: из \(3 - 2x \ge 3x + 13\) получаем \(3 - 13 \ge 5x\), \(-10 \ge 5x\), \(x \le -2\). Знак менять не пришлось.
Типичная ошибка. Делят на отрицательное число и оставляют знак: из \(-5x \ge 10\) получают \(x \ge -2\). Проверка подстановкой \(x = 0\) в исходное неравенство (\(3 \ge 13\) — неверно) показывает ошибку.
На ЕГЭ. Линейные неравенства — заключительный шаг решения любого неравенства задания 15 и основа отбора в заданиях 14 и 19 («\(-\dfrac52 \le k \le -\dfrac12\), значит, \(k = -1\) или \(k = -2\)»). Ответ задания 15 записывают промежутками с правильными скобками.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward