Квадратные неравенства
Квадратное неравенство \(ax^2 + bx + c \gt 0\) (или \(\lt\), \(\ge\), \(\le\)) решают по графику: находят корни квадратного трёхчлена и смотрят, где парабола выше оси абсцисс, а где ниже. Направление ветвей задаёт знак \(a\).
Правило. Пусть \(x_1 \lt x_2\) — корни трёхчлена. При \(a \gt 0\) (ветви вверх) трёхчлен отрицателен между корнями и положителен вне их; при \(a \lt 0\) — наоборот. Если \(D \lt 0\), корней нет, и знак трёхчлена при всех \(x\) совпадает со знаком \(a\). Если \(D = 0\), трёхчлен обращается в нуль в одной точке и везде кроме неё имеет знак \(a\).
Как это работает. Решим неравенство \(x^2 - 5x + 6 \le 0\).
- Корни трёхчлена: по теореме Виета \(x = 2\) и \(x = 3\).
- Ветви параболы направлены вверх (\(a = 1 \gt 0\)), значит, трёхчлен не больше нуля между корнями, включая их (неравенство нестрогое).
- Ответ: \([2; 3]\).
Ещё пример. Решите неравенство \(-x^2 + 4x - 5 \gt 0\).
Решение. \(D = 16 - 20 \lt 0\), корней нет; ветви вниз, трёхчлен всюду отрицателен. Неравенство \(\gt 0\) не выполняется ни при каком \(x\). Ответ: решений нет.
Лайфхак. Если \(a \lt 0\), умножьте неравенство на \(-1\) (сменив знак) — ветви станут направлены вверх, и останется помнить одно правило: «меньше нуля — между корнями, больше нуля — вне корней».
Типичная ошибка. Из \(x^2 \gt 9\) делают вывод \(x \gt 3\). Верно: \(x \lt -3\) или \(x \gt 3\) — трёхчлен \(x^2 - 9\) положителен вне корней \(\pm 3\).
На ЕГЭ. Квадратные неравенства — ядро задания 15 после замены (\(t^2 - 5t + 4 \le 0\)) и задания 19 (условие \(D \gt 0\) для параметра: \(a^2 - 4a \gt 0\)). Они же — основа метода интервалов.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward