Линейные уравнения
Уравнение — это равенство с неизвестным; решить его — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство верно. Самое простое уравнение — линейное: неизвестное входит в первой степени. На нём отрабатывают два действия, которые нужны везде: перенос слагаемых и деление на коэффициент.
Правило. Линейное уравнение приводится к виду \(ax = b\). При \(a \ne 0\) единственный корень \(x = \dfrac{b}{a}\). При \(a = 0\): если \(b = 0\), корень — любое число (\(0 \cdot x = 0\)); если \(b \ne 0\), корней нет (\(0 \cdot x = 5\) невозможно). Слагаемое переносят через знак равенства с противоположным знаком; обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Как это работает. Решим уравнение \(3(2x - 1) - 4 = 5x + 2\).
- Раскрываем скобки: \(6x - 3 - 4 = 5x + 2\), то есть \(6x - 7 = 5x + 2\).
- Переносим неизвестные влево, числа вправо: \(6x - 5x = 2 + 7\).
- Приводим подобные: \(x = 9\). Проверка: слева \(3 \cdot 17 - 4 = 47\), справа \(45 + 2 = 47\). Ответ: 9.
Ещё пример. Решите уравнение \(\dfrac{x - 1}{3} - \dfrac{x}{4} = 1\).
Решение. Умножаем обе части на 12 — наименьший общий знаменатель: \(4(x - 1) - 3x = 12\), \(4x - 4 - 3x = 12\), \(x = 16\). Ответ: 16.
Лайфхак. Если в уравнении есть дроби, первым действием умножьте обе части на общий знаменатель — все дроби исчезнут. Если есть десятичные дроби, умножьте на 10 или 100.
Типичная ошибка. При переносе слагаемого забывают сменить знак: из \(6x - 7 = 5x + 2\) получают \(6x - 5x = 2 - 7\). Правило: слагаемое «переезжает» через знак равенства с противоположным знаком.
На ЕГЭ. Отдельного задания на линейные уравнения в профиле нет, но ими заканчивается почти каждое решение: после замены, возведения в квадрат или логарифмирования остаётся линейное уравнение. Ошибка в нём обесценивает всю предыдущую работу.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward