Квадратные уравнения: дискриминант и формула корней
Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \ne 0\)) — главное уравнение школьной алгебры: к нему сводятся показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения после замены. Число корней определяет дискриминант.
Формулы. \[D = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a}.\] \(D \gt 0\) — два корня, \(D = 0\) — один корень \(x = -\dfrac{b}{2a}\), \(D \lt 0\) — действительных корней нет. При чётном \(b = 2k\) удобнее \(\dfrac{D}{4} = k^2 - ac\), \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D/4}}{a}\).
Как это работает. Решим уравнение \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
- Коэффициенты: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\). Дискриминант \(D = 49 - 24 = 25\), \(\sqrt D = 5\).
- Корни: \(x = \dfrac{7 \pm 5}{4}\), то есть \(x_1 = 3\), \(x_2 = \dfrac{2}{4} = 0{,}5\).
- Проверка для \(x = 3\): \(18 - 21 + 3 = 0\). Ответ: 0,5; 3.
Ещё пример. Сколько корней имеет уравнение \(x^2 - 6x + 9 = 0\)? А уравнение \(x^2 + x + 1 = 0\)?
Решение. В первом \(D = 36 - 36 = 0\) — один корень \(x = 3\) (это \((x - 3)^2 = 0\)). Во втором \(D = 1 - 4 \lt 0\) — корней нет. Ответ: один; ни одного.
Лайфхак. Если \(b\) чётное, считайте \(\dfrac D4\): для \(x^2 - 6x + 5 = 0\) имеем \(k = -3\), \(\dfrac D4 = 9 - 5 = 4\), \(x = 3 \pm 2\). Числа меньше — ошибок меньше. Если в задании просят «меньший корень» или «сумму корней», всё равно сначала найдите оба.
Типичная ошибка. Знак \(b\) в формуле: для \(2x^2 - 7x + 3\) число \(-b = 7\), а не \(-7\). Вторая ошибка — делить только на \(a\), а не на \(2a\).
На ЕГЭ. Задание 7: «Найдите меньший корень уравнения \(x^2 + 4x - 21 = 0\)» — ответ \(-7\). В заданиях 14 и 19 после замены получается квадратное уравнение относительно \(t\), и дискриминант часто оказывается точным квадратом — это проверка, что замена сделана верно.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward