Теорема Виета
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Она позволяет подбирать корни устно, находить второй корень по известному первому и восстанавливать коэффициенты уравнения по корням.
Теорема. Если \(x_1\), \(x_2\) — корни уравнения \(x^2 + px + q = 0\), то \[x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 x_2 = q.\] Для \(ax^2 + bx + c = 0\): \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Обратно: числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\) — корни уравнения \(x^2 + px + q = 0\).
Как это работает. Решим подбором уравнение \(x^2 - 7x + 12 = 0\).
- Ищем два числа с произведением 12 и суммой 7. Пары с произведением 12: \(1 \cdot 12\), \(2 \cdot 6\), \(3 \cdot 4\).
- Сумма 7 у пары 3 и 4. Знаки: произведение положительно, сумма положительна — оба корня положительны.
- Ответ: 3; 4. Проверка: \(9 - 21 + 12 = 0\).
Ещё пример. Один из корней уравнения \(x^2 + bx - 15 = 0\) равен 3. Найдите \(b\) и второй корень.
Решение. Произведение корней равно \(-15\), значит, второй корень \(-15 : 3 = -5\). Сумма корней \(3 + (-5) = -2 = -b\), откуда \(b = 2\). Ответ: \(b = 2\), второй корень \(-5\).
Лайфхак. Знаки корней видны по коэффициентам: если \(q \gt 0\), корни одного знака (какого — показывает знак \(-p\)); если \(q \lt 0\), корни разных знаков, и больший по модулю имеет знак \(-p\). Для \(x^2 + 2x - 15\): разные знаки, по модулю больше отрицательный — корни 3 и \(-5\).
Типичная ошибка. Теорему Виета в виде «сумма равна \(-p\)» применяют к неприведённому уравнению \(2x^2 - 7x + 3\): сумма корней здесь \(\dfrac72\), а не 7. Сначала разделите на старший коэффициент.
На ЕГЭ. В задании 19 условия на корни («корни разных знаков», «сумма корней равна 4») переводят через Виета в условия на параметр. В задании 7 Виета экономит время: корни \(x^2 - 5x + 6 = 0\) видны сразу — 2 и 3.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward