Неполные квадратные уравнения и разложение на множители
Если в квадратном уравнении нет свободного члена или нет слагаемого с \(x\), дискриминант не нужен: уравнение решают разложением на множители или извлечением корня. Общий принцип — произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
Правила. \[ax^2 + bx = 0 \iff x(ax + b) = 0 \iff x = 0 \text{ или } x = -\dfrac{b}{a};\] \[x^2 = c \iff x = \pm\sqrt c \;(c \gt 0); \quad x^2 = 0 \iff x = 0; \quad x^2 = c \lt 0 \text{ — корней нет}.\] Общий приём: \(A(x) \cdot B(x) = 0 \iff A(x) = 0\) или \(B(x) = 0\).
Как это работает. Решим уравнение \(3x^2 + 5x = 0\).
- Выносим общий множитель: \(x(3x + 5) = 0\).
- Произведение равно нулю: \(x = 0\) или \(3x + 5 = 0\).
- Из второго уравнения \(x = -\dfrac53\). Ответ: \(-\dfrac53\); 0.
Ещё пример. Решите уравнение \(4x^2 - 25 = 0\).
Решение. Первый способ: \(x^2 = \dfrac{25}{4}\), \(x = \pm\dfrac52\). Второй: разность квадратов \((2x - 5)(2x + 5) = 0\), \(x = \pm 2{,}5\). Ответ: \(-2{,}5\); 2,5.
Лайфхак. Никогда не делите уравнение на выражение с неизвестным. Из \(x^2 = 5x\) нельзя получить \(x = 5\) делением на \(x\) — теряется корень \(x = 0\). Переносите всё в одну часть и выносите множитель: \(x(x - 5) = 0\).
Типичная ошибка. \(x^2 = 49\) даёт два корня \(\pm 7\), а не один. И наоборот: уравнение \(x^2 = -49\) корней не имеет, писать \(x = \pm 7i\) в школьном задании с действительными корнями не нужно.
На ЕГЭ. Задание 7: «Найдите корень уравнения \(x^2 - 11x = 0\); если корней несколько, укажите больший» — ответ 11. Разложение на множители — главный инструмент тригонометрических уравнений задания 14: \(\sin x(2\cos x - 1) = 0\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward