Биквадратные уравнения и замена переменной
Замена переменной — универсальный приём: если неизвестное входит в уравнение только в составе одного и того же выражения, это выражение обозначают новой буквой. Простейший случай — биквадратное уравнение \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), где заменяют \(t = x^2\).
Алгоритм. 1) Увидеть повторяющееся выражение и обозначить \(t\); записать ограничение на \(t\) (для \(t = x^2\): \(t \ge 0\)). 2) Решить уравнение относительно \(t\). 3) Отбросить значения \(t\), не удовлетворяющие ограничению. 4) Вернуться к \(x\): для каждого подходящего \(t\) решить \(x^2 = t\). 5) Записать все корни.
Как это работает. Решим уравнение \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\).
- Замена \(t = x^2\), \(t \ge 0\): \(t^2 - 5t + 4 = 0\).
- По теореме Виета \(t = 1\) или \(t = 4\); оба неотрицательны.
- Возвращаемся: \(x^2 = 1\) даёт \(x = \pm 1\); \(x^2 = 4\) даёт \(x = \pm 2\). Ответ: \(-2\); \(-1\); 1; 2 — четыре корня.
Ещё пример. Решите уравнение \((x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0\).
Решение. Замена \(t = x^2 - 3x\): \(t^2 - 2t - 8 = 0\), \(t = 4\) или \(t = -2\). Возвращаемся: \(x^2 - 3x - 4 = 0\) даёт \(x = 4\), \(x = -1\); \(x^2 - 3x + 2 = 0\) даёт \(x = 1\), \(x = 2\). Ответ: \(-1\); 1; 2; 4.
Лайфхак. Число корней биквадратного уравнения считают по знакам \(t\): каждый положительный \(t\) даёт два корня, \(t = 0\) — один, отрицательный — ни одного. Для \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\): \(t = 9\) и \(t = -4\), значит, ровно два корня \(\pm 3\).
Типичная ошибка. Записать в ответ значения \(t\) вместо \(x\). После решения относительно \(t\) обязательно вернитесь к исходной переменной — это отдельный шаг с собственными корнями.
На ЕГЭ. Та же схема в задании 14: \(t = \sin x\) (\(|t| \le 1\)), \(t = 2^x\) (\(t \gt 0\)), \(t = \log_2 x\) (любое \(t\)). Ограничение на \(t\) — это строка решения, за которую отвечает эксперт при проверке.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward