Уравнения высших степеней: группировка и подбор корня
Уравнение третьей и более высокой степени решают, раскладывая левую часть на множители. Способы: группировка слагаемых, подбор целого корня с последующим делением многочлена, использование формул сокращённого умножения.
Приёмы. 1) Группировка: \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x^2 - 4)\). 2) Целый корень многочлена с целыми коэффициентами — делитель свободного члена; найдя корень \(x_0\), делят многочлен на \((x - x_0)\). 3) Равенство квадратов: \(A^2 = B^2 \iff A = B\) или \(A = -B\). 4) \(x^3 = c \iff x = \sqrt[3]{c}\) — единственный корень при любом знаке \(c\).
Как это работает. Решим уравнение \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0\).
- Группируем: \(x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0\).
- Выносим общую скобку: \((x - 3)(x^2 - 4) = 0\), затем \((x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0\).
- Произведение равно нулю: \(x = 3\), \(x = 2\), \(x = -2\). Ответ: \(-2\); 2; 3. Наибольший корень 3.
Ещё пример. Решите уравнение \((x + 6)^2 = (x - 4)^2\).
Решение. Не раскрывая скобки: \(x + 6 = x - 4\) (невозможно) или \(x + 6 = -(x - 4)\), откуда \(2x = -2\), \(x = -1\). Ответ: \(-1\).
Лайфхак. Для \(A^2 = B^2\) используйте разность квадратов: \((A - B)(A + B) = 0\). Для \((x + 6)^2 = (x - 4)^2\): \((x + 6 - x + 4)(x + 6 + x - 4) = 10(2x + 2) = 0\), \(x = -1\). Два действия вместо раскрытия квадратов.
Типичная ошибка. Из \((x + 6)^2 = (x - 4)^2\) делают вывод \(x + 6 = x - 4\) и «корней нет». Теряют второй случай \(A = -B\), в котором и находится корень.
На ЕГЭ. Задание 7: «Решите уравнение \((x - 3)^2 = (x + 7)^2\)» — ответ \(-2\); «\(x^3 = -27\)» — ответ \(-3\). Кубические уравнения с подбором корня встречаются в задании 19 как промежуточный шаг.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward