Дробно-рациональные уравнения и ОДЗ
В дробно-рациональном уравнении неизвестное стоит в знаменателе. Делить на нуль нельзя, поэтому значения, обращающие знаменатель в нуль, не могут быть корнями, даже если «получаются» в ходе решения. Такие значения называют посторонними корнями.
Правило. \[\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \iff \begin{cases} P(x) = 0, \\ Q(x) \ne 0. \end{cases}\] Порядок: 1) записать ОДЗ — знаменатели не равны нулю; 2) привести к виду «дробь равна нулю» (или умножить обе части на общий знаменатель); 3) решить уравнение \(P(x) = 0\); 4) исключить корни, не входящие в ОДЗ.
Как это работает. Решим уравнение \(\dfrac{x^2 - 1}{x + 1} = 0\).
- ОДЗ: \(x + 1 \ne 0\), то есть \(x \ne -1\).
- Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \(x^2 - 1 = 0\), \(x = \pm 1\).
- Корень \(x = -1\) не входит в ОДЗ — посторонний. Ответ: 1.
Ещё пример. Решите уравнение \(\dfrac{3}{x - 2} = \dfrac{x}{x - 2} - 1\).
Решение. ОДЗ: \(x \ne 2\). Умножаем на \((x - 2)\): \(3 = x - (x - 2)\), то есть \(3 = 2\). Равенство неверно при любом \(x\). Ответ: корней нет.
Лайфхак. ОДЗ записывайте первой строкой, до любых преобразований, и обводите. В конце решения вернитесь к ней и вычеркните лишнее. Так посторонний корень не попадёт в ответ, а эксперт увидит, что отбор сделан.
Типичная ошибка. Сокращают дробь \(\dfrac{(x - 5)(x - 6)}{x - 5}\) на \((x - 5)\) и получают \(x - 6 = 0\) — верно, но ОДЗ \(x \ne 5\) при этом нужно сохранить: если бы числитель был \((x - 5)^2\), ответ был бы «корней нет», а не \(x = 5\).
На ЕГЭ. Задание 7: «Найдите корень уравнения \(\dfrac{x - 4}{x + 3} = \dfrac{2x - 1}{x + 3}\)» — после умножения на \(x + 3\) получается \(x = -3\), который не входит в ОДЗ, поэтому корней нет, и такое уравнение составителям невыгодно; обычно корень один и «хороший». В задании 14 дробь с тригонометрией требует исключить нули знаменателя на окружности.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward