Текстовые задачи на движение

11 заданий

Задачи на движение решают по одной формуле \(s = vt\) и одной таблице с тремя столбцами: скорость, время, расстояние. Неизвестную величину обозначают \(x\), заполняют таблицу, а уравнение составляют по той величине, о которой в условии сказано «на столько-то больше» или «одинаково».

Формулы. \(s = vt\), \(v = \dfrac{s}{t}\), \(t = \dfrac{s}{v}\). По течению \(v + u\), против течения \(v - u\) (\(u\) — скорость течения), плот плывёт со скоростью течения. Навстречу друг другу — скорости складываются; вдогонку — вычитаются. Средняя скорость \(= \dfrac{\text{весь путь}}{\text{всё время}}\), а не среднее арифметическое скоростей.

Как это работает. Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибыл к финишу на 3 часа раньше. Найдите скорость первого.

Пусть скорость второго \(x\) км/ч, тогда первого \(x + 5\). Времена: \(\dfrac{90}{x}\) и \(\dfrac{90}{x + 5}\) часов.
Первый приехал раньше на 3 часа: \(\dfrac{90}{x} - \dfrac{90}{x + 5} = 3\). Умножаем на \(x(x + 5)\) и делим на 3: \(30(x + 5) - 30x = x(x + 5)\), то есть \(x^2 + 5x - 150 = 0\).
Корни 10 и \(-15\); скорость положительна, \(x = 10\). Скорость первого \(10 + 5 = 15\). Ответ: 15 км/ч.

Ещё пример. Моторная лодка прошла против течения реки 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 1 час меньше. Скорость течения 2 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
Решение. Пусть собственная скорость лодки \(x\) км/ч. Против течения она идёт \(\dfrac{24}{x - 2}\) ч, по течению — \(\dfrac{24}{x + 2}\) ч, разность равна 1: \(\dfrac{24}{x - 2} - \dfrac{24}{x + 2} = 1\). Умножаем на \((x - 2)(x + 2)\): \(24(x + 2) - 24(x - 2) = x^2 - 4\), то есть \(96 = x^2 - 4\), \(x^2 = 100\), \(x = 10\) (отрицательный корень не подходит). Ответ: 10 км/ч.

Лайфхак. Уравнение «разность времён» \(\dfrac{s}{x} - \dfrac{s}{x + a} = t\) — самое частое в задании 11. После умножения на знаменатели оно всегда квадратное, и отрицательный корень отбрасывают. Проверяйте ответ подстановкой в условие, а не в уравнение.

Типичная ошибка. В ответ пишут \(x\), а спрашивали другую величину: нашли скорость второго (10), а просили первого (15). Перечитайте вопрос перед записью ответа.

На ЕГЭ. Задание 11 — текстовая задача на 1 балл: движение, работа, смеси, проценты. Модели движения: два объекта из одного пункта, навстречу, по реке, по окружности (встреча при разнице путей в длину круга), поезд, проезжающий мимо столба или платформы (путь — длина поезда плюс платформа).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward