Логарифм: определение и основное тождество

Логарифм положительного числа \(b\) по основанию \(a\) (\(a \gt 0\), \(a \ne 1\)) — показатель степени, в которую надо возвести \(a\), чтобы получить \(b\):

\[\log_a b = c \iff a^c = b, \qquad a^{\log_a b} = b.\]

Второе равенство называют основным логарифмическим тождеством. Примеры: \(\log_2 32 = 5\), \(\log_{\dfrac13} 9 = -2\), \(\log_5 \dfrac{1}{125} = -3\), \(\log_7 \sqrt7 = \dfrac12\), \(\log_a 1 = 0\), \(\log_a a = 1\). Десятичный логарифм \(\lg b = \log_{10} b\), натуральный \(\ln b = \log_e b\), где \(e \approx 2{,}718\).

Пример. Вычислите \(\log_4 8\).
Решение. Ищем \(c\) с \(4^c = 8\): \(2^{2c} = 2^3\), \(c = 1{,}5\).

Пример. Найдите значение выражения \(5^{\log_5 3 + 2}\).
Решение. \(5^{\log_5 3} \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75\).

Пример. Найдите \(\log_{0{,}2} 25\).
Решение. \(0{,}2 = 5^{-1}\), \(25 = 5^2\), поэтому \((5^{-1})^c = 5^2\), \(c = -2\).