Свойства логарифмов
| Свойство (\(x, y \gt 0\)) | Пример |
|---|---|
| \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\) | \(\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2\) |
| \(\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\) | \(\log_{0{,}6} 50 - \log_{0{,}6} 18 = \log_{0{,}6} \dfrac{25}{9} = -2\) |
| \(\log_a x^k = k \log_a x\) | \(\log_3 81 = 4\log_3 3 = 4\) |
| \(\log_{a^k} x = \dfrac1k \log_a x\) | \(\log_{\sqrt2} 8 = 2\log_2 8 = 6\) |
| \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) | \(\dfrac{\log_7 125}{\log_7 5} = \log_5 125 = 3\) |
| \(\log_a b \cdot \log_b a = 1\) | \(\log_3 2 \cdot \log_2 3 = 1\) |
Пример. Найдите значение выражения \(\log_3 8 \cdot \log_2 27\).
Решение. \(3\log_3 2 \cdot 3\log_2 3 = 9 \log_3 2 \cdot \log_2 3 = 9\).
Пример. Найдите \(\dfrac{\log_5 27}{\log_5 3}\).
Решение. По формуле перехода это \(\log_3 27 = 3\).
Пример. Найдите значение выражения \(36^{\log_6 5}\).
Решение. \(36^{\log_6 5} = 6^{2\log_6 5} = \left(6^{\log_6 5}\right)^2 = 25\).
Ловушка ЕГЭ. \(\log_a x^2 = 2\log_a |x|\), а не \(2\log_a x\): при отрицательном \(x\) правая часть не имеет смысла. В примере с основанием \(0{,}6\) знак легко потерять: \(\dfrac{25}{9} = \left(\dfrac53\right)^2 = (0{,}6)^{-2}\), поэтому логарифм равен \(-2\), а не 2.
Как это спрашивают на ЕГЭ. Задание 8: найти \(\log_a b\) с «неудобными» основаниями, вычислить произведение или частное логарифмов, значение \(a^{\log_b c}\). Задание 7: логарифмические уравнения по определению. Задание 16: логарифмические неравенства с переменным основанием.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward